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Forum "Integration" - Massenbestimmung der Erde
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Massenbestimmung der Erde: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Fr 03.12.2004
Autor: Peida

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe folgendes Problem:
Die Masse des Erdkerns soll berechnet werden. Der Erdkern hat einen Radius von 3470km. Die Dichte ändert sich mit dem Radius linear. Dichte bei Radius 0 ist 13.4g*cm^-3. Bei Radius 3470 beträgt die Dichte 10.4g*cm^-3.

Masse ist bekanntlich ja Volumen*Dichte.

Mein Problem ist das, dass ich nicht weiß wie ich die Dichte in Abhängigkeit des Radius reinbring. Ich denk mir mal über Integralrechnung.
Aber wie?

        
Bezug
Massenbestimmung der Erde: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Sa 04.12.2004
Autor: Loddar

Guten Morgen Peida,

[willkommenmr] !!!

Zuerst würde ich mir die Gleichung für die Dichte in Abhängigkeit des Radius ermitteln.

Wir haben gegeben:
[mm] $\rho(R=0) [/mm] = 13,4 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm] = 0,0134 [mm] \bruch{t}{m^3}$ [/mm]
[mm] $\rho(R=3470 [/mm] km) = 10,4 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm] = 0,0104 [mm] \bruch{t}{m^3}$ [/mm]

Daraus folgt:
[mm] $\rho(r) [/mm] = 0,0134 - [mm] \bruch{0,0030}{3470*1000} [/mm] * r$

Einheiten:
[mm] $\rho$ [/mm] in [mm] $\bruch{t}{m^3}$ [/mm]
r in m


Das bekannte Kugelvolumen mit $V = [mm] \bruch{4}{3}*\pi*R^3$ [/mm] ergibt sich auch aus der Integration der Kugeloberfläche $O = [mm] 4*\pi R^2$ [/mm] von 0 bis R.

Mit diesem Wissen, kombiniert mit der Formel $m = [mm] \rho [/mm] * V$ ergibt sich für unsere Massenberechnung:

$m = [mm] \integral_{0}^{R}{\rho(r) * O(r) dr}$ [/mm]
$m = [mm] \integral_{0}^{R}{[(0,0134 - \bruch{0,0030}{3470*1000} * r) * 4 * \pi * r^2] dr}$ [/mm]
$m = 4 * [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{R=3470*10^3 m}{(0,0134 * r^2 - \bruch{0,0030}{3470*1000} * r^3) dr}$ [/mm]

Achtung: R in m einsetzen. Dann erhalten wir als Einheit „Tonnen“ (t).

Ich habe als Endwert $m = [mm] 1,9514*10^{18} [/mm] t$ erhalten.

Zum Vergleich:
Eine Kugel mit eine konstanten Dichte von [mm] $\rho [/mm] = 13,4 [mm] \bruch{g}{cm^3}$ [/mm] ergibt eine Masse von $m = [mm] 2,3452*10^{18} [/mm] t $. Das erscheint mir plausibel von der Größenordnung (83%).

Ich hoffe, ich habe jetzt nicht total daneben gehauen ...


Ein schönes Wochenende + Grüße Loddar



Bezug
                
Bezug
Massenbestimmung der Erde: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Sa 04.12.2004
Autor: Peida

Danke, hast mir wirklich sehr geholfen!!

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