Massenmittelpunkt < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Do 21.05.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Eine zylindrische Dose der Masse m und der Höhe h ist mit Wasser ebenfalls der Masse m vollständig gefüllt. Jetzt wird ein kleines Loch in die Mitte des Bodens und des Deckels geschlagen, so dass das Wasser langsam auslaufen kann.
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Lage des Massenmittelpunktes in Abhängigkeit von der Füllstandshöhe an.
b) Welche Höhe unterschreitet der Massenmittelpunkt nicht, wenn das Wasser herausläuft? |
Ich weiß, dass sich der Massenmittelpunkt wie folgt berechnet: [mm] \vec{r_S}=\frac{1}{M}\sum_im_i\vec{r_i}
[/mm]
Aber das scheint mir hier nicht so der richtige Ansatz zu sein. Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine zylindrische Dose der Masse m und der Höhe h ist mit
> Wasser ebenfalls der Masse m vollständig gefüllt. Jetzt
> wird ein kleines Loch in die Mitte des Bodens und des
> Deckels geschlagen, so dass das Wasser langsam auslaufen
> kann.
> a) Geben Sie einen Ausdruck für die Lage des
> Massenmittelpunktes in Abhängigkeit von der Füllstandshöhe
> an.
> b) Welche Höhe unterschreitet der Massenmittelpunkt nicht,
> wenn das Wasser herausläuft?
> Ich weiß, dass sich der Massenmittelpunkt wie folgt
> berechnet: [mm]\vec{r_S}=\frac{1}{M}\sum_im_i\vec{r_i}[/mm]
> Aber das scheint mir hier nicht so der richtige Ansatz zu
> sein.
Hallo,
aber ganz falsch kommt's mir auch nicht vor.
Ich würde erstmal ausrechnen, wo der Massenmittelpunkt der leeren Dose liegt, und wo der der Füllung.
Damit müßtest Du ja [mm] \vec{r_1} [/mm] (Dose) und [mm] \vec{r_2} [/mm] (Füllung) haben.
[mm] \vec{r_1} [/mm] und [mm] m_1 [/mm] sind ja glücklicherweise konstant,
[mm] \vec{r_2} [/mm] und [mm] m_2 [/mm] hingegen hängen von der Füllhöhe ab.
Zum Rechnen stell die Dose in ein zu Geometrie passendes Koordinatensystem, also eine Achse entlang der Zylinderachse, und die anderen beiden am Dosenboden.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Fr 22.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der [mm] S_D [/mm] der Dose selbst bleibt fest .wo?
Am Anfang faellt der [mm] S_W [/mm] der Schwerpkt des Wassers mit [mm] S_D [/mm] zusammen.
wenn das Wasser die Hoehe h1 hat, wo liegt dann [mm] S_W(h1)?
[/mm]
jetzt lege die Gesamtmasse des Wassers von h1 in [mm] S_W(1) [/mm] und bestimme den gesamtschwerpunkt, als ob du 2 massen m und m(h1) in S+D und [mm] S_W(h1) [/mm] haettest. Da brauchts nur ne summe aus 2 Teilen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 23.05.2009 | | Autor: | notinX |
Der Mittelpunkt der Dose liegt bei [mm] S_D=\frac{h}{2}, [/mm] der des Wassers liegt bei [mm] S_W(x)=\frac{hx}{2}. [/mm] Wenn das stimmt, müsste der Gesamtschwerpunkt bei [mm] S_G(x)=\frac{h(x+1)}{4} [/mm] liegen. Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die Dose nur bis [mm] h_x [/mm] mit W gefuellt ist, ist doch die masse des Wassers in [mm] S_W [/mm] nicht mehr m sondern?
deshalb ist dein Ergebnis falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 23.05.2009 | | Autor: | notinX |
Die Masse ist dann: [mm] m(x)=m\cdot [/mm] x
Also: [mm] S_G=\frac{1}{m+mx}\cdot\frac{h(x+1)}{4}
[/mm]
Stimmt es so?
Korrektur:
[mm] S_G=\frac{1}{m+mx}\cdot\frac{mh(x+1)}{4}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn x? und wieso ist m dann m*x?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Sa 23.05.2009 | | Autor: | notinX |
x ist die Füllhöhe. mx weil wenn die Dose zur Hälfte gefüllt ist, ist [mm] m_W=mx=m\frac{1}{2}, [/mm] wenn die Dose zu zwei Drittel gefüllt ist, ist [mm] m_W=mx=m\frac{2}{3}, [/mm] etc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du in deine Formel x=1 also voll einsetzest hast du
1/2m*(m*h*2)/4=h/4 raus. Also muss was falsch sein.
schreib die 2 Schwerpunkte hin.
schreib die 2 Massen dazu. benutze nicht x sondern wie gefragt die Fuellhoehe [mm] h_f [/mm] oder nenne die x.
ueberpruefe dein ergebnis mit h+f=h, [mm] h_f=0.5h, h_f=0. [/mm] Dann merkst du grobe Fehler.
gewoehn dir an, so einfache Faelle immer wenn du ne Formel entwickelst zu ueberpruefen!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 24.05.2009 | | Autor: | notinX |
Ich finde meinen Fehler einfach nicht.
Der Schwerpunkt der Dose ist doch [mm] S_D=\frac{1}{m}\cdot\frac{m\cdot h}{2}=\frac{h}{2}
[/mm]
und der des Wassers ist: [mm] S_W=\frac{1}{m\cdot x}\cdot\frac{x\cdot h\cdot m\cdot x}{2}=\frac{x\cdot h}{2}
[/mm]
x ist die Füllhöhe, bei halber Füllung, also [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] ist [mm] S_W [/mm] bei [mm] \frac{\frac{1}{2}\cdot h}{2}=\frac{1}{4}h, [/mm] bei voller Füllung ist [mm] S_W [/mm] bei [mm] \frac{1}{2}h. [/mm] Das müsste eigentlich stimmen
Wenn ich diese beiden nun in die Formel einsetze kommt folgendes raus:
[mm] S_G=\frac{1}{m+mx}\cdot\left(\frac{mh}{2}+\frac{mx^2h}{2}\right)=\frac{1}{m(x+1)} \cdot\frac{mh(x^2+1)}{2}=\frac{h(x^2+1)}{2(x+1)}
[/mm]
Aber das schenit wohl auch nicht zu stimmen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn x die Fuellhoehe ist, so ist x nicht 1/2 wenn das Wasser halb hoch ist sondern h/2
versuch wirklich mal mit x=Fuellhoehe zu rechnen, sonst kriegst du immer den faktor der masse, der ja ein faktor ist und die fuellhoehe, die ne laenge ist durcheinander.
Wenn du keine Indizes magst nenn die Hoehe des Gefaesses H und die des Wassers h.
Deine Formel ist denk ich richtig, wenn dein x die relative Fuellhoehe ist also x=h/H oder [mm] x=h_w/h
[/mm]
Da nach Abh. von der Fuellhoehe gefragt ist wuerde ich die x nennen. jetzt noch das Min von S berechnen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 24.05.2009 | | Autor: | notinX |
Ja, x ist die relative Füllhöhe, sorry wenn ich mich nicht klar ausgedrückt habe.
Wenn die Dose voll ist, ist x=1
[mm] S_G(1)=\frac{h(1^2+1)}{2(1+1)}=\frac{2h}{4}=\frac{h}{2}
[/mm]
Wenn ich für x=1h einsetzen würde, würde ja etwas ganz anderes raukommen:
[mm] S_G(1h)=\frac{h((h)^2+1)}{2(h+1)}=\frac{h^3+h}{2h+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist jetzt die Frage, die Rechnung im vorletzten Post:
[mm] h*(x^2+1)?2(x+1) [/mm] war richtig, wenn x=h/H ich hatte nur gesagt es sollte in h geschrieben werden. und du suchst noch das Min.
(die Formel mit h ist falsch)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 24.05.2009 | | Autor: | notinX |
Ja, den Rest bekomme ich dann alleine hin. Danke für die Unterstützung.
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