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| Aufgabe | Konstruiert man einen Körper A [mm] \subset \IR [/mm] (beschränkt, messbar) aus einem homogenen Material, dann bestimmt sich die Koordinaten des Massenschwerpunktes als:
[mm] (S_x,S_y,S_z)=\bruch{1}{\lambda_3(A)}*(\integral_{A}{x d\lambda_3},\integral_{A}{y d\lambda_3},\integral_{A}{z d\lambda_3}) [/mm] |
Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die Flächen {z=1} und [mm] {1/9(x^2+y^2)=5-z} [/mm] eingeschlossen wird.
Also bei diesem Körper handelt es sich um einen Kegel, dessen Grundfläche den Radius 6 hat. Und die Höhe des Kegels beträgt 4.
Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich diesen Massenschwerpunkt berechne?
Ich müsste ja z.B. [mm] \integral_{A}{z d\lambda_3} [/mm] berechnen. Wie geht man da denn am besten vor?
Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße
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Hallo raubkaetzchen,
> Konstruiert man einen Körper A [mm]\subset \IR[/mm] (beschränkt,
> messbar) aus einem homogenen Material, dann bestimmt sich
> die Koordinaten des Massenschwerpunktes als:
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> [mm](S_x,S_y,S_z)=\bruch{1}{\lambda_3(A)}*(\integral_{A}{x d\lambda_3},\integral_{A}{y d\lambda_3},\integral_{A}{z d\lambda_3})[/mm]
>
> Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die
> Flächen {z=1} und [mm]{1/9(x^2+y^2)=5-z}[/mm] eingeschlossen wird.
>
> Also bei diesem Körper handelt es sich um einen Kegel,
> dessen Grundfläche den Radius 6 hat. Und die Höhe des
> Kegels beträgt 4.
>
> Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich diesen
> Massenschwerpunkt berechne?
> Ich müsste ja z.B. [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}[/mm] berechnen.
> Wie geht man da denn am besten vor?
Zunächst mußt Du die Grenzen festlegen zwischen denen zu integrieren ist.
Dann ist
[mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{ \integral_{y_{1}\left(x\right)}^{y_{2}\left(x\right)} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy } \ dx}[/mm]
,wobei [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ y_{1}\left(x\right),\ y_{2}\left(x\right), \ z_{1}\left(x,y\right), \ z_{2}\left(x,y\right)[/mm] die Integrationsgrenzen sind.
>
> Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
>
> Liebe Grüße
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Hallo Mathe Power,
Vielen dank für deine schnelle Antwort. Also die Grenzen von dx könnte man doch -6 und 6 setzen. Aber wie bestimme ich denn die Integrationsgrenzen der anderen? Setzt man z.B. für [mm] y_1(x) [/mm] einfach z=1 ??? Um eine Grenze in abhängigkeit von lediglich x zu erhalten?
Und wie macht man das bei den Grenzen für dz?
Ich habe es mal versucht da unten:
[mm] \integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{1}^{} z \ dz }\ dy } [/mm] dx
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Hallo raubkaetzchen,
> Hallo Mathe Power,
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> Vielen dank für deine schnelle Antwort. Also die Grenzen
> von dx könnte man doch -6 und 6 setzen. Aber wie bestimme
> ich denn die Integrationsgrenzen der anderen? Setzt man
> z.B. für [mm]y_1(x)[/mm] einfach z=1 ??? Um eine Grenze in
> abhängigkeit von lediglich x zu erhalten?
Setzt Du die begrenzenden Flächen gleich,
dann erhältst Du die Grenzen für y.
Diese Grenzen sind dann nur noch von x abhängig.
> Ich habe es mal versucht da unten:
>
> [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy }[/mm]
> dx
>
Das sieht gut aus.
Die Grenzen für z sind ja vorgegeben.
Damit ist
[mm]z_{1}\left(x,y\right)=1[/mm]
[mm]z_{2}\left(x,y\right)=5-\bruch{1}{9}*\left(x^{2} +y^{2}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe! Das Integral:
[mm] \integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy }
[/mm]
konnte ich nun sehr gut auswerten.
Kann man dieselbe reihenfolge der Integrale und Grenzen auch für x und y wählen? Also in obiger gleichung einfach den integranden z durch x bzw. y tauschen?
Dann erhalte ich komischerweise nämlich immer 0?
Oder muss man in anderer Reihenfolge integrieren?
Wenn ja warum und wie?
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Hallo raubkaetzchen,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Hilfe! Das Integral:
> [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy }[/mm]
Hier meinst Du wohl:
[mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}=\integral_{-6}^{6}{ \integral_{-\wurzel{36-x^2}}^{\wurzel{36-x^2}} { \integral_{z_{1}\left(x,y\right)}^{z_{2}\left(x,y\right)} z \ dz }\ dy \ \red{dx}}[/mm]
>
> konnte ich nun sehr gut auswerten.
> Kann man dieselbe reihenfolge der Integrale und Grenzen
> auch für x und y wählen? Also in obiger gleichung einfach
> den integranden z durch x bzw. y tauschen?
Ja.
> Dann erhalte ich komischerweise nämlich immer 0?
> Oder muss man in anderer Reihenfolge integrieren?
> Wenn ja warum und wie?
Überleg mal, welche Eigenschaft des Kegels dafuer verantwortlich ist.
Gruss
MathePower
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> Konstruiert man einen Körper A [mm]\subset \IR[/mm] (beschränkt,
> messbar) aus einem homogenen Material, dann bestimmt sich
> die Koordinaten des Massenschwerpunktes als:
>
> [mm](S_x,S_y,S_z)=\bruch{1}{\lambda_3(A)}*(\integral_{A}{x d\lambda_3},\integral_{A}{y d\lambda_3},\integral_{A}{z d\lambda_3})[/mm]
>
> Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die
> Flächen {z=1} und [mm]{1/9(x^2+y^2)=5-z}[/mm] eingeschlossen wird.
>
> Also bei diesem Körper handelt es sich um einen Kegel,
> dessen Grundfläche den Radius 6 hat. Und die Höhe des
> Kegels beträgt 4.
>
> Leider habe ich gar keine Ahnung, wie ich diesen
> Massenschwerpunkt berechne?
> Ich müsste ja z.B. [mm]\integral_{A}{z d\lambda_3}[/mm] berechnen.
> Wie geht man da denn am besten vor?
>
> Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar.
>
> Liebe Grüße
Hallo raubkätzchen,
bei dem Körper handelt es sich nicht um einen Kegel,
sondern um ein Segment eines Rotationsparaboloïds.
Höhe 4 und Grundkreisradius 6 stimmen.
Für die Schwerpunktsberechnung dieses Körpers würde ich
unbedingt die Rotationssymmetrie nutzen. Es ist sofort klar,
dass der Schwerpunkt auf der Rotationsachse, d.h. auf der
z-Achse liegen muss. Somit ist also nur noch eine einzige
Zahl zu ermitteln, nämlich die z-Koordinate [mm] z_S [/mm] des Schwer-
punkts.
Nun kann man sich den Körper in dünne Scheiben zerschnippelt
vorstellen (so wie man ein Stück einer Mortadella-Wurst in
der Aufschnittmaschine zerschneidet).
Eine Scheibe der Dicke dz in der Höhe z hat (genähert als
Zylinder betrachtet) das Volumen
$\ dV\ =\ [mm] \pi*r^2*dz$
[/mm]
und also die Masse
$\ dm\ =\ [mm] \pi*\rho*r^2*dz$ (\rho=Dichte)
[/mm]
Für [mm] z_S [/mm] erhält man dann das Integral:
$\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{m}*\integral_{z_{min}}^{z_{max}}z*dm$
[/mm]
m ist die Gesamtmasse des Körpers, also:
$\ m\ =\ [mm] \integral_{z_{min}}^{z_{max}}dm$
[/mm]
LG Al-Chw.
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