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Mathematisches Pendel: Harmonische Schwingung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mo 16.11.2015
Autor: sonic5000

Hallo,
im Gegensatz zum Federschwinger ist das mathematische Pendel nicht exakt harmonisch schwingend... Also selbst für kleine Ausschläge nur annähernd harmonisch... Habe ich das richtig verstanden?

        
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Mathematisches Pendel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Mo 16.11.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Ja, das ist so, denn es wird die Näherung [mm] $\sin(x)\approx [/mm] x$ verwendet.

Ich hab mal die prozentuale Abweichung geplottet:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Sie ist gering, aber gar nicht mal so klein. Für 30°, was häufig als Grenze für die Gültigkeit der Näherung angesehen wird,   ist der Sinus schon 4,5% kleiner als eine lineare Funktion.





Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Mathematisches Pendel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Mo 16.11.2015
Autor: sonic5000

Die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels ist eine nichtlineare dgl zweiten Grades für die es keine geschlossene Lösung gibt... Da tue ich mich ein bißchen schwer weil ich nicht so fit in Mathe bin...
Kann man diese dgl denn plotten? Also da es ja nun keine harmonische Schwingung ist kann es ja auch keine sinusförmige kurve sein...
Kann ich vielleicht auf numerischen Wege eine Kurve erzeugen?



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Mathematisches Pendel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mo 16.11.2015
Autor: chrisno


> Die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels ist eine
> nichtlineare dgl zweiten Grades für die es keine
> geschlossene Lösung gibt... Da tue ich mich ein bißchen
> schwer weil ich nicht so fit in Mathe bin...
>  Kann man diese dgl denn plotten?

Ein Differentialgleichung plotten? Wie stellst Du Dir das vor?

> Also da es ja nun keine
> harmonische Schwingung ist kann es ja auch keine
> sinusförmige kurve sein...

Mit "es" bleibst Du zu vage. Ich nehme an, Du möchtest die Auslenkung über der Zeit darstellen.

> Kann ich vielleicht auf numerischen Wege eine Kurve
> erzeugen?

Das geht auf jeden Fall. Zuerst musst Du Dich für ein Werkzeug entscheiden. Das geht sogar mit einer Tabellenkalkulation, Du kannst es selbst programmieren oder ein Werkzeug für solche Aufgaben einsetzen. Mit denen kenne ich mich nicht aus.



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Mathematisches Pendel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mo 16.11.2015
Autor: sonic5000

O.K. Die Lösungsfunktion der angenäherten Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels lautet:

[mm] \phi(t)=\phi_0 *cos(\omega t+\delta) [/mm] wobei [mm] \phi_0 [/mm] der maximale Winkelausschlag ist...

Wenn ich das plotte bekomme ich eine harmonische Schwingung (Sinus Funktion)...

Wenn ich die nichtangenäherte Bewegungsgleichung [mm] \bruch{d^2\phi}{dt^2}=-\bruch{g}{l}sin\phi [/mm] nicht lösen kann wie komme ich dann auf Funktionswerte?




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Mathematisches Pendel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mo 16.11.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Naja, wenn es keine analytische Lösung gibt, kann man das eben numerisch machen. Mathe-Programme können das normalerweise, aber falls es dich interessiert, man kann das auch selbst machen. Hier etwas Python-Code für deinen Fall:


1:
2: from math import *
3:
4: # Anfangswerte
5: x=30.0/180*pi 
6: v=0.0
7: a=0.0
8: t=0.0
9:
10: dt=0.01 # Schrittweite der Simulation
11:
12: f=open("data.csv", "w")  # Datei für die Werte
13:
14:
15:
16: while(t<10.0):
17:     a=-sin(x)    # Beschleunigung am Ort berechnen
18:     v=v+a*dt     # Neue geschwindigkeit berechnen
19:     x=x+v*dt     # Neue Auslenkung berechnen
20:     t=t+dt
21:
22:     # Werte im Format "Zeit Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung" in Datei schreiben
23:     f.write("%f\t%f\t%f\t%f\n"%(t, x, v, a)) 
24:
25: f.close()


Ich will da nicht zu sehr drauf eingehen, es ist auch ziemlich selbsterklärend. Nur so viel, weil's Python-spezifisch ist: Alles, was eingerückt ist, gehört zu der while-Schleife.

Wenn man das mal für verschiedene Anfangsauslenkungen macht und den zeitlichen Verlauf der Auslenkung plottet, sieht das so aus:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe die Auslenkung normiert, also [mm] \frac{\phi(t)}{\phi_0} [/mm] berechnet, damit die Kurven alle die gleiche Amplitude haben.

Du siehst, daß Form und Periode für die Kurven von 10°, 20° und 30° sehr ähnlich sind, der Unterschied ist zwar erkennbar, aber noch gering. Die Periode nimmt aber immer weiter zu, und spätestens ab 130° Auslenkung wird auch sehr deutlich, daß das kein sinus-förmiger Verlauf mehr ist.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Mathematisches Pendel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Mo 16.11.2015
Autor: sonic5000

Alles klar... Vielen Dank... Das muss ich erst mal sacken lassen... Keine Frage...

Bezug
                                                
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Mathematisches Pendel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Mo 16.11.2015
Autor: chrisno

Schön!

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