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Matheolympiade: Parabeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Do 02.11.2006
Autor: MontBlanc

Aufgabe
Eine Parabel p mit der Gleichung [mm] y=ax^{2}+bx+c,a>0, [/mm] berühre die beiden Parabeln [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] mit den Gleichungen [mm] y=-x^{2}+b_1x+c_1 [/mm] bzw. [mm] y=-x^2+b_2x+c_2 [/mm] in den Punkten A bzw. B. Man beweise, dass die gemeinsame Tangente der Parabeln [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] parallel zur Geraden AB ist.

Hallo,

nun aber, der Einsendeschluss ist vorbei, und es geht für mich  nur noch darum die aufgaben verstanden zu haben, und nen gute Note bei meiner Lehrerin zu ergattern. =)

Hier meine Überlegungen.

Man hat nun 2 Geraden [mm] y=a_3x+b_3 [/mm] und [mm] y=a_3x+b_4. [/mm]

Ich habe jetzt damit begonnen die Scheitelpunkte der beiden Parabeln [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] zu besimmen, das sah dann so aus:

[mm] y=-x^{2}+b_1x+c_1 [/mm] |*-1

[mm] -y=x^{2}-b_1x-c_1 [/mm] | quadratische ergänzung

[mm] -y=[x^{2}-b_1x+(\bruch{b_1}{2})^{2}]-(\bruch{b_1}{2})^{2}-c_1 [/mm]

[mm] -y=(x-\wurzel{(\bruch{b_1}{2})^{2}})^{2}-(\bruch{b_1}{2})^{2}-c1 [/mm]

[mm] y=-(x-\wurzel{(\bruch{b_1}{2})^{2}})^{2}+(\bruch{b_1}{2})^{2}+c_1 [/mm]

Die Scheitelpunkte sind dann:

[mm] S_1(-\wurzel{(\bruch{b_2}{2})^{2}}/(\bruch{b_2}{2})^{2}+c_2) [/mm]

[mm] S_2(-\wurzel{(\bruch{b_2}{2})^{2}}/(\bruch{b_2}{2})^{2}+c_2) [/mm]

So da ich jetzt die Scheitelpunkte habe, fehlen mir noch die koordinaten der Schnittpunkte, wenn ich die auch habe, dann müsste ich ja eigentlich mit den beiden Scheitelpunkten eine Gerade bekommen und mit den beiden Schnuttpunkten eine Gerade bekommen, die theoretisch dieselber Steigung haben, damit wäre das ganze doch bewiesen, oder nicht ?

Würde mich sehr über Anregungen und Verbesserungen freuen !!

Bis denn

Exeqter



        
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Matheolympiade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Do 02.11.2006
Autor: MontBlanc

Hi,

welche Frage mir noch gekommen ist, bei der bestimmung der Schnittpunkte der Parabeln, darf ja jeweils nur ein Schnittpunkt rauskommen. Welche Bedingungen müssen dann für die gleichung gelten ? Sicherlich muss die Diskriminante beim auflösen mit pq-Formel 0 sein, aber wie erreiche ich das in der gleichung ?

Vielen dank für eure hilfe

Bis denne

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Matheolympiade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Do 02.11.2006
Autor: Teufel

Hallo!

Wenn unter der Wurzel 0 rauskommen soll, musst du den Audruck unter der Wurzel 0 setzen (weißt du ja). Und das könnte man nach a umstellen. Dann kannst du bei deinem Schnittpunkt das a ersetzen und damit ist gesichert, dass das der einzige Schnittpunkt ist. Denn damit ist ja die Bedingung, dass nur ein Schnittpunkt vorhanden ist, mit eingearbeitet worden. Dann hast du 2 Schnittpunkte und kannst deren Anstieg berechnen, richtig.

Aber die andere Gerade muss nicht zwingend durch die Scheitel von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] laufen. Das ist der Fall, wenn die Scheitel die selben y-Werte haben. Da musst du nochmal drüber nachdenken!


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Matheolympiade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:19 Do 02.11.2006
Autor: MontBlanc

Hallo,

doch die Gerade muss durch die Scheitel von [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2 [/mm] laufen, ich habe mich da einmal verschrieben, beim ersten Scheitelpunkt ist die y-koordinate [mm] (\wurzel{\bruch{b_1}{2})^{2}}. [/mm] Entschuldigung. Dann müsste es aber stimmen.

Wie genau meinst du das den Wert unter der Wurzel gleich null setzen, was erreiche ich damit ? Doch nur, dass ich weiß für welchen wert die wurzel 0 wird, aber das bringt mir doch nichts, da ich die gleichungen ja schon habe oder nicht ?

Bis denn


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Matheolympiade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Do 02.11.2006
Autor: Teufel

Nur zur der Sache mit den Scheiteln:

[Dateianhang nicht öffentlich]

:) naja, ich habe die Aufgabe slber nicht gerechnet. Nicht mehr um diese Uhrzeit :) aber ich guck morgen nochmal richtig. So spontan könnt ichd as auch nicht lösen!

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Matheolympiade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 Do 02.11.2006
Autor: leduart

Hallo Exe
Die gemeinsame Tangente muss nicht durch den Scheitel laufen! Deshalb hilft dir die Scheitelform auch wenig.
Ich hab dir mal ein Bildchen zu deiner Erbauung  gemalt, Schau dirs an, und überleg dann erst, wie du loslegst. Im Spezialfall b1=b2 nur geht die gemeinsame Tangente durch die Scheitel, dann ist das Problem auch einfacher und du kannst ja damit anfangen!
(Übrigens wenn du so was behauptest wie in deiner Mitteilung:"sie geht doch durch den Scheitel", dann musst du das beweisen, d.h. ein zwingendes Argument dafür finden. In diesem Fall hier fändest du das dann nicht.)
Gruss leduart
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Matheolympiade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Do 02.11.2006
Autor: MontBlanc

Hi,

ok ihr habt recht, hab mich geirrt. Aber jetzt wirft mich das wieder ganz an den Anfang zurück =(((. Wie bestimmt man denn die Gleichung einer gemeinsamen Tangente zweier Parabeln ?

Vielen dank für eure Hilfe =)).

Bis denn

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Matheolympiade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Do 02.11.2006
Autor: Teufel

So, nochmal ich ;)

Ich habe aber schonmal so angefangen:

f(x)=ax²+bx+c, a>0
[mm] g(x)=-x²+b_1x+c_1 [/mm]

Ich habe die beiden erstmal gleichgesetzt.

Dann sollte man auf

[mm] x²+\bruch{b-b_1}{a+1}x+\bruch{c-c_1}{a+1}=0 [/mm] kommen (außer wenn ich mich hier schon vertan hab ;)).

Bei der p-q-Formel steht ja vor der Wurzel [mm] -\bruch{p}{2}, [/mm] also in dem Fall
[mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{b-b_1}{a+1}=-\bruch{b-b_1}{2(a+1)}=\bruch{b_1-b}{2(a+1)} [/mm]

Und das wird auch die x-Koordinate vom Berührpunkt sein, sofern die Parameter a, b, c, [mm] b_1 [/mm] und [mm] c_1 [/mm] das zulassen. Wenn du den Ausdruck unter  er Wurzel bei der p-q-Formel 0 setzt, kriegst du diese Bedingung raus, also dass [mm] \bruch{b_1-b}{2(a+1)} [/mm] wirklich der einzige gemeinsame Punkt der Parabeln ist. (Ok, vergiss das mit dem einsetzen ertsmal wieder! Ist glaube falsch.)

Nun könnte man den dazugehörigen y-Wert ermitteln und hätte den Berührpunkt.

Danach könnte man f(x) mit der anderen Parabel gleichsetzen und erhält den 2. Berührpunkt (wird der gleiche sein, nur dass es hier [mm] b_2 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] heißt ;)).


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Matheolympiade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Fr 03.11.2006
Autor: Teufel

So, ich habe mich nochmals rangesetzt:

Ich habe rausgefunden, wie sich das mit der Tangente an beiden Parabeln realisieren lässt.

Du weißt:
[mm] p_1: y=-x²+b_1x+c_1 [/mm]
t: y=mx+n (allgemeine Tangentengleichung)

Diese setzt du gleich.

[mm] mx+n=-x²+b_1x+c_1 [/mm]

Das müsstest du nun umformen bist du die p-q-Formel drauf los lassen kannst. Damit nun ein Schnittpunkt ensteht muss unter der Wurzel 0 rauskommen.
Wenn du den Ausdruck unter der Wurzel 0 setzt und etwas umformst, dann steht da n=...(irgendwas mit m, [mm] b_1 [/mm] und [mm] c_1) [/mm]

Nun musst du t auch mit [mm] p_2 [/mm] gleichsetzen. Du machst genau das selbe wie bei [mm] p_1, [/mm] bis du auch auf n=...(irgendwas mit m, [mm] b_2 [/mm] und [mm] c_2) [/mm] stößt.

Dieses n muss ja bei beiden Gleichungen gleich sein, da es sich ja um die selbe Tangente handelt! Also kannst du beide ns gleichsetzen und erhälst eine Gleichung, in der nur noch m, [mm] b_1, b_2, c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] vorkommen. Diese kannst du jetzt nach m umstellen und du hast deinen gesuchten Anstieg. Du könntest nun noch n ausrechnen, aber das bringt dir ja nichts, weil du eh nur den Anstieg brauchst.

Also hast du nun m=...

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die Gerade, die durch die Berührpunkte der 3 Parabeln geht, den selben Anstieg hat.

Also: Berührpunkte berechnen, Anstieg mit der bekannten Formel [mm] m=\bruch{y_1-y_2}{x_1-x_2} [/mm] berechnen. Sollte dann theoretisch der selbe sein ;) ansonsten noch umformen etc. um etwas zu sehen.

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Matheolympiade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Fr 03.11.2006
Autor: MontBlanc

Hallo,

jo ich habe heute auch noch n bisschen dran rumgetüfftelt und bin ungefähr zu dem selben gekommen wie du.

Jetzt bin ich bei den Berührpunkten der Parabeln, ich muss die Parabelgleichung [mm] p=p_1 [/mm] setzen, dann ne pq-formel drauf, und den ausdruck unter der wurzel =0 setzen oder ?? Dann habe ich doch wieder nur genau einen schnittpunkt

Bis denn

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Matheolympiade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 So 05.11.2006
Autor: leduart

Hallo Exe
Da du so geduldig aufs Ende des Wettbewerbs gewartet hast mal ein paar Tips.
1. Beweis das erstmal für den ganz einfachen Fall, dass der Scheitel der 2 Parabeln denselben y-Wert hat. also p1: [mm] y=-(x-c1)^2+b, [/mm] p2: [mm] y=-(x-c2)^2+b. [/mm]
Die gemeinsame Tangente ist dann wohl klar, und dass die Parabel p dann auch auf ner Parallelen zur xAchse  p1 und p2 berührt ist leicht zu zeigen.
2. Teil. nimm irgendne Parabel und ne Tangente in einem Punkt.
erst mal einfach [mm] y=x^2 [/mm] addier zu der Parabel ne beliebige Gerade,y=mx+b zu der Tangente dieselbe Gerade.
Was wird aus der Parabel? und der Tangente?
Was, wenn du ne Gerade zu p1 und p2 und der gemeinsamen Tangente addierst?
Mach dir das auch auf Zeichnungen klar, nicht nur rechnen!
Dann sollte der Rest leicht sein.
Der Weg, den du eingeschlagen hast ist dröge und langweilige Rechnerei, kommt irgendwann zum Ziel und lässt einem die Mathe hassen, wegen der endlosen Umformelei.
Mein Weg ist ein kleines echtes Stück mathe, nämlich durch Denken Rechnen zu vermeiden.
Gruss leduart

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Matheolympiade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 So 05.11.2006
Autor: MontBlanc

Huhu leudart,

wie kommt man denn darauf "Geraden dazu zu addieren"? Davon habe ich bis heute noch nichts gehört. Wäre nett, wenn du mir das mal weiter erläutern könntest.

Vielen dank

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Matheolympiade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Mo 06.11.2006
Autor: leduart

Hallo Exe
Wenn du zu ner Parabel ne Gerade addierst heisst das z.BspP: [mm] y=x^2; [/mm]   g:y=mx+b  
p+g: [mm] x^2+mx+b [/mm]
das ist wieder eine Parabel, sie hat dieselbe Form wie die ursprüngliche ist also nur verschoben. die Gerade g ist Tangente, denn alle Punkte der neuen Parabel sitzen ja oberhalb g ausser dem Punkt wo die Parabel durch 0 ging,.
Addiert man zu irgendeiner Tangente dieselbe Gerade g so wird sie wieder Tangente.
Ich hab dir ein Beispiel, eigentlich 2 angehängt. die 2 ursprünglichen Parabeln (schwarz sind [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] y=(x-3)^2. [/mm] an die erste hab ich ihre Tangente (hellgrün addiert, es entsteht die rote. die helle Gerade ist jetz Tangente bei x=0 die dunkle Tangente ist die Addition der Tangente zu sich selbst und wieder Tangente. Was passiert siehst du Beispielhaft am Punkt A der nach B geht.
Bei der 2. Parabel, schwarz, rechts hab ich ne schneidende Gerade (hellgrün addiert, Ergebnis wieder rot, die Hellgrüne Gerade wird Tangente bei x=3, die Tangente bei x=3,5 wird wieder zur Tangente durch Addition der geraden.
Punktweise kann man wieder addieren C nach D E nach F
Guck dir das ne Weile an, sich daran zu gewöhnen dauert, und frag erst zurück, wnn du wirklich ne Weile gebrütet hast! Dann merkst du wie spannend das ist. (hoff ich)
(Der Fachausdruck, für das, was ich tu  indem ich die Gerade addiere ist : ich mache eine Scherung. Vielleicht kennst du das aus der Geometrie, eine Scherung macht z, Bsp aus einem Rechteck ein Flächengleiches Parallelogramm)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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