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Matheolympiade 2006: Geometrische herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:04 Di 25.03.2008
Autor: buddha

Aufgabe
461015
Es sei ABCD ein konvexes Viereck. Der Punkt P sei im Inneren der Strecke AB derart
gewählt, dass
|AP| : |PB| = |AD| : |DC| f¨ur die zugehörigen Streckenlängen gilt. Weiterhin soll gelten, dass die Geraden PD und BC
parallel sind.
Beweisen Sie: |<) ADP| = |<) PDC|




so hier meine skizze. [Dateianhang nicht öffentlich]

Daraus konnte ich mir bisher folgendes herleiten.
(a=alpha, b= beta, etc)

aus dem dreieck links unten

a+b+d1=180°= y+d2 => wenn a+b=c  dann sind die winkel gleich, bzw wenn es sich bei dem gebilde um eine raute handelt sind die winkel gleich.
wenn die 2 strecken PB und DC gleich lang sind sind die winkel gleich.
Mir gelingt leider nicht der nachweis. das dies Bedingung zur Konstruktion dieses Gebildes ist..

Ich hab hier allerhand vollgeschrieben, wirklich weiter als nach 2 minuten bin ich aber nicht. ich hab die Skizze und die Überlegungen in welchen fällen die aussage auf jeden Fall Stimmt. der absolute beweis gelingt mir jedoch einfach nicht.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. und hoffe das mir hier wer helfen kann. bin seid ca 4 stunden am verzweifeln, und das ist klasse 9 ^^

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Matheolympiade 2006: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:33 Di 25.03.2008
Autor: abakus


> 461015
>  Es sei ABCD ein konvexes Viereck. Der Punkt P sei im
> Inneren der Strecke AB derart
>  gewählt, dass
>  |AP| : |PB| = |AD| : |DC| f¨ur die zugehörigen
> Streckenlängen gilt. Weiterhin soll gelten, dass die
> Geraden PD und BC
>  parallel sind.
>  Beweisen Sie: |<) ADP| = |<) PDC|
>  
>
>
>
> so hier meine skizze.
> [Externes Bild http://www.bilder-space.de/show.php?file=4X4Qu9Pa5oMiPJW.JPG]
>  
> Daraus konnte ich mir bisher folgendes herleiten.
>  (a=alpha, b= beta, etc)
>  
> aus dem dreieck links unten
>  
> a+b+d1=180°= y+d2 => wenn a+b=c  dann sind die winkel
> gleich, bzw wenn es sich bei dem gebilde um eine raute
> handelt sind die winkel gleich.
>  wenn die 2 strecken PB und DC gleich lang sind sind die
> winkel gleich.
>  Mir gelingt leider nicht der nachweis. das dies Bedingung
> zur Konstruktion dieses Gebildes ist..
>  
> Ich hab hier allerhand vollgeschrieben, wirklich weiter als
> nach 2 minuten bin ich aber nicht. ich hab die Skizze und
> die Überlegungen in welchen fällen die aussage auf jeden
> Fall Stimmt. der absolute beweis gelingt mir jedoch einfach
> nicht.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. und hoffe das mir hier wer helfen
> kann. bin seid ca 4 stunden am verzweifeln, und das ist
> klasse 9 ^^

Hallo, deine Skizze ist aus zwei Gründen untauglich.
Zum einen ist NCHT (wie in deiner Skizze) AB||CD vorausgesetzt. Zum anderen muss [mm] \beta [/mm] kein rechter Winkel sein.
Skizzen mit Spezialfällen verwirrer eher, als dass sie helfen.
Die Voraussetzungen "Streckenverhältnis" und Parallelität deuten auf den Strahlensatz als Hilfsmittel.
Verlängere mal AD und BC bis zu ihrem Schnittpunkt S.
Nach Strahlensatz gilt dann
|AP| : |PB| = |AD| : |DS|, und laut Voraussetzung galt |AP| : |PB| = |AD| : |DC|.  Folgerung???
Von da ab sind es noch zwei Schritte (hilfreich ist, wenn man weiß, dass die Halbierenden eines Paars von Nebenwinkeln senkrecht aufeinander stehen).




Bezug
                
Bezug
Matheolympiade 2006: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Di 25.03.2008
Autor: buddha

Oh man das ich das nicht gesehen hab ^^

naja wenn AD/DS = AD/DC dann folgt daraus ja das das dreieck oben gleichschenklig ist => d1 = d2
omg das ich das nicht gesehen hab ^^

trotzdem würde mich interessieren
was du

Von da ab sind es noch zwei Schritte (hilfreich ist, wenn man weiß, dass die Halbierenden eines Paars von Nebenwinkeln senkrecht aufeinander stehen).


hiermit meinst :)

Bezug
                        
Bezug
Matheolympiade 2006: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Di 25.03.2008
Autor: abakus


> Oh man das ich das nicht gesehen hab ^^
>  
> naja wenn AD/DS = AD/DC dann folgt daraus ja das das
> dreieck oben gleichschenklig ist => d1 = d2

... in dem "Dreieck da oben" ist also die Symmetrieachse sowohl Winkelhalbierende als auch Senkrechte auf der Geraden BC. Damit steht diese Winkelhalbierende ebenfalls senkrecht auf der Parallelen PD. (Hilfreich ist, wenn man weiß....) siehe unten.
Viele Grüße
Abakus



>  omg das ich das nicht gesehen hab ^^
>  
> trotzdem würde mich interessieren
> was du
>
> Von da ab sind es noch zwei Schritte (hilfreich ist, wenn
> man weiß, dass die Halbierenden eines Paars von
> Nebenwinkeln senkrecht aufeinander stehen).
>  
>
> hiermit meinst :)


Bezug
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