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Matheolympiadeaufgabe: Vorbereitung auf die nächste M
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Di 21.07.2009
Autor: KingStone007

Aufgabe
hi ich brauch die lösung der folgenden aufgabe

430922
a) Die
"
Mauer\ in Abbildung A430922 ist mit drei
Farben so zu farben, dass jeder
"
Ziegel\ genau eine
Farbe besitzt und keine zwei sich langs einer Strecke
beruhrenden
"
Ziegel\ gleich gefarbt sind.
b) Ein Schuler zeichnet auf ein Zeichenblatt zehn kongruente
Kreise, die sich auch schneiden konnen. Damit
wird die Flache des Zeichenblatts zerlegt in
Kreise, Kreisbogenvielecke und eine oder mehrere
Rest
achen.
Lassen sich auch diese Teil
achen bei jeder Lage der Kreise so mit drei Farben farben,
dass jede Teil
ache genau eine Farbe besitzt und keine zwei sich langs Kreisbogen
beruhrende Flachen gleich gefarbt sind?
430923

Sorry ich hoffe ihr könnts entziffern, hab einfach nur kopiert un danke schonmal im voraus
Grüße, David

430922
a) Die
"
Mauer\ in Abbildung A430922 ist mit drei
Farben so zu farben, dass jeder
"
Ziegel\ genau eine
Farbe besitzt und keine zwei sich langs einer Strecke
beruhrenden
"
Ziegel\ gleich gefarbt sind.
b) Ein Schuler zeichnet auf ein Zeichenblatt zehn kongruente
Kreise, die sich auch schneiden konnen. Damit
wird die Flache des Zeichenblatts zerlegt in
Kreise, Kreisbogenvielecke und eine oder mehrere
Rest
achen.
Lassen sich auch diese Teil
achen bei jeder Lage der Kreise so mit drei Farben farben,
dass jede Teil
ache genau eine Farbe besitzt und keine zwei sich langs Kreisbogen
beruhrende Flachen gleich gefarbt sind?
430923

sorry ich hoffe ihr könnts entziffern, übrigens brauch ich nur b)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Matheolympiadeaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 Mi 22.07.2009
Autor: Event_Horizon

Hallo David!

Ersteinmal willkommen im Matheraum!



Beachte aber bitte, daß du hier in diesem Forum selten fertige Lösungen bekommst. Wir helfen dir gerne, wenn du Fragen oder Probleme hast, aber wir sehen auch gerne eigene Ansätze oder Ideen und unterstützen dich dabei, SELBST auf die Lösung zu kommen. Auch, wenn du keine Ansätze hast, so solltest du dich zumindest bemühen, die Aufgabe klar und verständlich zu formulieren.
So ist das allerdings eine ziemliche Zumutung, außerdem fehlt das Bild zu der ersten Aufgabe (Die übrigens ohne viel Überlegen zu lösen ist - auch erstmal durch Probieren). Du könntest auch einfach einen Link zu der Aufgabenstellung angeben.

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Matheolympiadeaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Mi 22.07.2009
Autor: Arcesius

Hallo

Da ich keine Zeichnung sehe, kann ich zwar nur erraten, wie das ganze aussehen soll.. Es scheint mir aber eine Anwendung des []Vier-Farben-Satzes zu sein.

Grüsse, Amaro

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Matheolympiadeaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:53 Mi 22.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  
> Da ich keine Zeichnung sehe, kann ich zwar nur erraten, wie
> das ganze aussehen soll.. Es scheint mir aber eine
> Anwendung des
> []Vier-Farben-Satzes
> zu sein.
>  
> Grüsse, Amaro


Hallo Amaro,

zur Färbung einer Karte mit 3 Farben nützt
der Vier-Farben-Satz kaum etwas. Übrigens
auch zur Färbung einer konkreten Karte mit
4 Farben bringt die bloße Kenntnis des Vier-
Farben-Satzes kaum eine konkrete Hilfe außer
der, dass es eben eine Lösung geben müsste.


LG    Al-Chw.

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Matheolympiadeaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Mi 22.07.2009
Autor: leduart

Hallo
Zu ner Aufgabe aus einem laufenden Wettbewerb wollen und duerfen wir keine antworten geben. Schon gar keine Loesungen.
Oder handelt essich um ne alte aufgabe?
Gruss leduart

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Matheolympiadeaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:25 Mi 22.07.2009
Autor: KingStone007

das is keine laufende aufgabe, diese würde ich schon meiner mathematikerehre nicht hier rein stellen

Bezug
                
Bezug
Matheolympiadeaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:28 Mi 22.07.2009
Autor: KingStone007

das is keine laufende aufgabe, diese würde ich schon meiner mathematikerehre nicht hier rein stellen^^

ich bereite mich lediglich wieder auf die kommende olympiade vor...
ich glaube nicht, dass ich einfach hinschreiben könnte, dass der vier-farben-satz das zeigt...außerdem bin ich schulstoffmäßig nicht so weit... ich hab vlt die idee das mit vollständiger induktion iwie zu zeigen...aber das is sicher umständlicher....

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Matheolympiadeaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:30 Mi 22.07.2009
Autor: KingStone007

Kann es sein, dass dieses Problem in b) bereits mit 2 Farben lösbar ist?

Bezug
                
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Matheolympiadeaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Mi 22.07.2009
Autor: abakus


> Kann es sein, dass dieses Problem in b) bereits mit 2
> Farben lösbar ist?

Ja!
Das leere Zeichenblatt bekommt Farbe 1, ein Kreis darin die Farbe 2.
Die Bedingung der Aufgabe ist bis jetzt erfüllt.
Der zweite Kreis wird eingezeichnet und sein Inhalt "umgepolt".
Das bedeutet: Wenn sein Inhalt teils aus einem Gebiet der Farbe 1, teils aus einem Gebiet der Farbe 2 besteht, bekommen diese beiden Gebiete jeweils die entgegengesetzte Farbe. (Besteht der Inhalt nur aus Farbe 1, wird komplett zu Farbe 2 gewechselt).
Die Bedingungen der Aufgabe sind nach wie vor erfüllt, denn:
1) Gebiete im Inneren des letzten Kreises, die vorher verschiedenfarbig waren, sind es jetzt wieder
2) Durch das Umpolen hat jedes neu abgetrennte Gebiet im Inneren des Kreises die entgegengesetzte Farbe wie das angrezende äußere Gebiet, von dem es abgetrennt wurde.
Damach werden weitere Kreise eingezeichnet und deren Inhalt gleichermaßen umgepolt.
Gruß Abakus

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Matheolympiadeaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:46 Mi 22.07.2009
Autor: KingStone007

Könnte man die Aufgabe in etwa so lösen:
Also man zeigt, dass man jede Lage von n Kreisen, die sich alle gegenseitig schneiden, auf gegebene Art färben kann.
Dazu hab ich mir folgendes überlegt:
An einer von m Kreisbögen begrenzten Teilfläche F dieser n Kreise, gibt es m Ecken und m Kanten. F habe die Farbe A.
Dann müssen die an F anstoßenden anderen Flächen, also die die mittels Kante verbunden sind eine andere Farbe als F haben, z.b. B.
Die mit F verbundenen Flächen mittels Ecke, können jede Farbe außer B haben, da sie mit den an F ansoßenden Flächen benachbart sind.Als Beispiel ebenfalls A.
Den Rest kann man dann analog so machen. Durch Ausprobieren komm ich immer darauf, dass die große Restfläche immer nur mit einer Farbe berührt wird.

Grüße David

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Matheolympiadeaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 22.07.2009
Autor: pelzig

Wenn du es induktiv über die Anzahl n der Kreise machst, wird die Argumentation sehr viel klarer.

Der Induktionsanfang ist klar. Hat man nun n+1 Kreise, dann nimm einen Kreis K weg, für die restlichen n Kreise gibt es nach Induktionsvoraussetzung eine Färbung, die die geforderten Eigenschaften hat. Nehmen wir nun den Kreis K wieder hinzu, so "polen wir die Farben um", so wie Abakus es beschrieben hat - fertig.

Den entscheidenden Schritt mit dem Umpolen muss man natürlich ganz genau begründen, aber du sollst ja auch noch was tun.

Gruß, Robert

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Matheolympiadeaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Mi 22.07.2009
Autor: KingStone007

Danke für eure Antworten.

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