Matr. pos+neg semidefinit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Di 05.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo eini!
> Gibt es so einfache Verfahren, positive und negative
> Semidefinitheit von Matrizen zu bestimmen, wie bei
> positiver und negativer Definitheit, soll heißen, über die
> Hauptminoren??
Ja, es sind die gleichen Kriterien wie bei der Definitheit über die Hauptminoren, nur dass in den jeweiligen Ungleichungen auch ein "$=$" zugelassen ist.
Das war völliger Blödsinn, wie das Beispiel weiter unten im Thread zeigt. (Julius)
> Und: Ist eine Matrix sofort indefinit, wenn sie weder
> positiv noch negativ definit ist?
Nein, sie kann ja auch positiv semidefinit und negativ semidefinit sein. Die Aussage ist allerdings dann richtig, wenn man zusätzlich weiß, dass die Determinante der Matrix nicht verschwindet.
Eine symmetrische Matrix (und ohne Symmetrie sind die Begriffe gar nicht definiert) ist genau dann indefinit, wenn sie weder positiv semidefiniv noch negativ semidefinit ist. Sie hat sowohl positive als auch negative Eigenwerte.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 05.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Julius!
Danke, das wäre ja fantastisch einfach!
Habe dabei ein Problem, da ich nicht auf die Lösungen aus dem Buch von Howard Anton "Lineare Algebra" komme, S.516 Nr.12 ( ist das so erlaubt? -  )...
Also, eine 3x3 Matrix mit lauter Nullen ist sowohl positiv wie negativ semidefinit, das verstehe ich ja komplett, ist aber gut zu wissen!
Aber: eine Matrix mit folgenden Einträgen : ( Himmel, wenn ich doch nur eure schöne Technik draufhätte ... )
1.Zeile : -5 0 0
2.Zeile : 0 0 0
3.Zeile : 0 0 1
ist laut Lösung indefinit, die Hauptminoren sind [mm] dochA_{1}= [/mm] -5 < 0 also negativ, [mm] A_{2}= [/mm] 0 und [mm] A_{3}= [/mm] 0 - natürlich, wie ich meine...
Heißt also doch - per definitionem - negativ semidefinit, für eine indefinite Matrix hätte doch einer der beiden "Nuller" da oben positiv sein müssen, oder blicke ich mal wieder nicht durch??
Und bei folgender Matrix
1.Zeile : 6 7 1
2.Zeile : 7 9 2
3.Zeile : 1 2 1
die soll laut Lösungsanhang hinten positiv definit sein...
Ich habe hier folgende Hauptminoren :
[mm] A_{1}= [/mm] 6 , also > 0
[mm] A_{2}= [/mm] 5 , 6x9-7x7 , also auch größer 0 und schließlich
[mm] A_{3}= [/mm] 0 , 6x(9x1-2x2)-7x(7x1-2x1)+1x(7x2-9x1)=30 - 35 + 5 = 0
dann natürlich doch positiv semidefinit, da doch ein Hauptminor = 0 ist..
Oder???
Liebe Grüße!
eini
PS: Die Überprüfung mittels der Eigenwerte habe ich nicht gemacht, wäre natürlich aufschlußreich...Ist das vielleicht doch bei einigen Matrizentypen notwendig und wenn bei welchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Di 05.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber eini!
Ich fürchte, dass es in diesem Buch andere Definitionen von "positiv (semi-)definit" und "indefinit" gibt als diejenigen, die ich kenne. Die Begriffe müssen in dem Buch doch definiert sein, oder nicht?
Kannst du die Definitionen bitte mal raussuchen und hier reinschreiben? Danke!
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 05.10.2004 | | Autor: | eini |
Lieber Julius!
Danke, ich hoffe du bist auf dieselben Ergebnisse gekommen, die ich angegeben habe! Das Buch ist nicht ein vom Dozenten empfohlenes Lehrbuch, ich hab´s mir einfach aus der Bibliothek herausgesucht, hat eigentlich auch einen ganz guten Ruf ( Spektrum - Verlag ) .
Wenn auch hier die Mathematiker mit unterschiedlichen Definitionen arbeiten würden, wäre das ja die Höhe, sollen sich mal langsam einigen...
Aber hier glaube ich wirklich an 2 Fehler im Lösungsteil des Buches - wie gesagt, ich hoffe, du bist auf dieselben Lösungen wie ich gekommen!! -
also die Definitionen klingen zumindest für einen Laien wie mich altvertraut,
also ( Ab jetzt zitiere ich einige Stellen aus em Buch ( nicht zusammenhängend! ) :
"Wir werden jetzt ein Kriterium angeben, mit dem man entscheiden kann, ob eine Matrix positiv definit ist, ohne ihre Eigenwerte auszurechnen.Dazu führen wir zuerst einen neuen Begriff ein. Die Hauptminore einer quadratischen Matrix A sind die Determinanten [mm] A_{1} [/mm] , [mm] A_{2} [/mm] , [mm] A_{3} [/mm] , ...
[mm] A_{n} [/mm] , die aus den ersten r Zeilen und r Spalten von A ( für r=1,2,.....,n)
gebildet werden. Satz : Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminore positiv sind."
Und weiter : " Die symmetrische Matrix A .....heißt
positiv semidefinit, wenn [mm] x^{T}Ax \ge [/mm] 0 für alle x,
negativ definit , wenn [mm] x^{T}Ax [/mm] < 0 für alle x [mm] \not= [/mm] 0 ,
negativ semidefinit, wenn [mm] x^{T}Ax \le [/mm] 0 für alle x,
indefinit , wenn [mm] x^{T}Ax [/mm] sowohl positive als auch negative Werte annimmt."
Vorher lautete ein Satz: "Eine symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn sie nur positive Eigenwerte besitzt."
U.a. auf letzten Satz bezugnehmend heißt es dann - auf die gerade angeführten Definitionen der pos./neg Semi/Definitheit weiter fortführend :
"Beispielsweise ist eine symmetrische Matrix A genau dann positiv semidefinit, wenn sie nur nichtnegative Eigenwerte hat, was äquivalent zur Nichtnegativität ihrer Hauptminore ist."
Also, meiner Meinung nach wohl die gängige Definition, oder?Und wonach doch die Ergebnisse rauskommen sollten, die ich errechnet habe, oder?
Thanks for your answer !
eini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber eini!
> > Aber: eine Matrix mit folgenden Einträgen : ( Himmel, wenn
> ich doch nur eure schöne Technik draufhätte ... )
>
> 1.Zeile : -5 0 0
> 2.Zeile : 0 0 0
> 3.Zeile : 0 0 1
>
> ist laut Lösung indefinit, die Hauptminoren sind [mm]dochA_{1}=[/mm]
> -5 < 0 also negativ, [mm]A_{2}=[/mm] 0 und [mm]A_{3}=[/mm] 0 - natürlich,
> wie ich meine...
Wie gesagt, ich habe dir Blödsinn erzählt. Bei (negativer) Semidefinitheit gibt es dieses Kriterium nicht.
Denn, du hast Recht: Alle Hauptminoren sind abwechselnd nicht-positiv und nicht-negativ, dennoch ist die Matrix nicht negativ semidefinit. (Denk dran: Bei einer negativ definiten Matrix sind die Hauptminoren abwechselnd positiv und negativ (nicht etwa alle negativ, wie man meinen könnte)!).
Was man sagen kann ist folgendes: Wenn die beiden Kriterien über die Hauptminoren für "positiv definit" und "negativ definit" beide nicht erfüllt sind, dann ist die symmetrische Matrix $A$ im Falle [mm] $\det(A)\ne [/mm] 0$ indefinit. Im Falle [mm] $\det(A)=0$ [/mm] kann sie aber auch noch positiv semidefinit oder negativ semidefinit sein, dann muss man weitere Untersuchungen vornehmen.
Diese Matrix hier ist indefinit, da für den Vektor [mm] $e_1:=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] gilt:
[mm] $e_1^T Ae_1 [/mm] = -5<0$
und für [mm] $e_3:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] gilt:
[mm] $e_3^T Ae_3 [/mm] = 1>0$.
Sorry! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> 1.Zeile : 6 7 1
> 2.Zeile : 7 9 2
> 3.Zeile : 1 2 1
>
> die soll laut Lösungsanhang hinten positiv definit
> sein...
>
> Ich habe hier folgende Hauptminoren :
> [mm]A_{1}=[/mm] 6 , also > 0
> [mm]A_{2}=[/mm] 5 , 6x9-7x7 , also auch größer 0 und schließlich
> [mm]A_{3}=[/mm] 0 , 6x(9x1-2x2)-7x(7x1-2x1)+1x(7x2-9x1)=30 - 35 + 5
> = 0
>
> dann natürlich doch positiv semidefinit, da doch ein
> Hauptminor = 0 ist..
Hier hast du Recht, das ist ein Fehler in dem Buch. Für positive Definitheit müssten alle Hauptminoren größer als Null sein. Es gibt hier einen nichttrivialen Kern, daher ist die Matrix nicht positiv definit. Man muss sich nun (am besten über die Eigenwerte) überlegen, dass sie positiv semidefinit ist. (Es ginge auch anders, aber ich bin mir jetzt zu unsicher und will nicht noch mehr Verwirrung stiften.) Mache es am besten über die Eigenwerte, falls die Hauptminoren-Kriterien für "positiv definit" und "negativ definit" beide nicht erfüllt sind. Oder finde in günstigen Fällen -wenn du siehst, dass die Matrix indefinit ist- wie ich oben zwei Vektoren [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $x_1^T [/mm] A [mm] x_1>0$ [/mm] und [mm] $x_2^T [/mm] A [mm] x_2<0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius,
normalerweise sind deine Beiträge äußerst hilfreich. Leider hat mich der letzte Beitrag etwas verwirrt.
Wie ist das nun mit der Minorität und der Definitheit?
Meiner Meinung nach ist es so:
positiv definit bedeutet, dass sämtliche Hauptminoren positv sein müssen, also größer 0.
negtiv definit bedeutet, dass der erste Hauptminor negativ und die weiteren abwechselnd positiv/negativ sein müssen.
wie ist es jedoch bei positiv semidefinit und negativ semidefinit mit den Hauptminoren???
MfG
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Professor |
Hallo Julius,
vielen Dank, dass du dich so oft und so ausführlich meiner Fragen annimmst. Finde dies echt toll von dir. Darf ich fragen was du von Beruf bist? Bist du Dozent an einer Hochschule?
MfG
Martin
PS: Und ich bin jetzt wieder völlig entwirrt, damit ich mich morgen früh wieder voller Begeisterung in die Wirrungen der Mathematik begeben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Martin!
Ich darf meine Identität hier leider nicht öffentlich preisgeben.
Ich schreibe dir eine PN und erkläre es dir.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mi 06.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo lieber Julius,
danke für deine so netten und aufschlußreichen Antworten, freue mich immer sie zu lesen!
Außerdem - wenn ich das so sagen darf - es gibt keinen Grund sich zu entschuldigen, auch wenn´s - hoffentlich - nicht ganz ernst gemeint war...
Wir lernen doch alle aus Fehlern und das ist doch perfekt! Du bist sowieso mächtig schlau, das spüre ich !!
Außerdem eine Ankündigung von meiner Seite : Ich verspreche hiermit, daß
ich in absehbarer Zeit (..?..) auch Dipl.-Math. sein werde, auch wenn man das an den meisten Stellen nicht glauben mag, ich schaff´ das!!Mathe macht Spaß,
ich weiß sehr wohl, daß "richtige" Mathematik ein ganz hartes Brot ist...
Aber vielleicht noch etwas zum Verständnis:
Also, ich werde bei der Definitheitsbestimmung zukünftig Definitheit erst mittels dem einfachen Verfahren über die Hauptminoren prüfen, wenn das Ergebnis dann positive, negative Definitheit oder Indefinitheit - auch hier ? - sein sollte, bin ich fertig, richtig???
Falls das Ergebnis "evtl.scheinbare" Semidefinitheit ergeben sollte, gehe ich den Weg über die Eigenwerte zur Überprüfung des vorherigen Ergebnisses, wie ich heute im Buch "Mathe für WiWis" von Ohse nachgelesen haben wir hiermit "ein eindeutiges Entscheidungskriterium zur Hand, das Aussagen über die Definitheit und Semidefinitheit zuläßt".
Hoffe, ich schaffe gleich noch einen Strang über das Thema Aussagen ( richtig/falsch und Folgerungen ) zu LGS und deren Lösbarkeit, linear abhängig/unabhängig, Rang bei nxn und mxn Matrizen etc. zu eröffnen.
Finde ich momentan auch sehr interessant, ich weiß,das Thema hatten wir schon mal ...
Wie gesagt, bin begeistert, liebe Grüße an dich zurück, Julius !
eini
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Hallo eini,
ich hab nochmal nachgeschlagen wie das mit dieser Definitheit so ist.
Habe da folgendes Gefunden:
Über die Hauptminoren läßt sich feststellen, ob die Matrix A positiv definit ist oder negtiv definit ist. Ist es wedernoch, so geht es über die Eigenwerte.
positiv semidefinit [mm] \gdw [/mm] s = 0 & r [mm] \not= [/mm] n
negativ semidefinit [mm] \gdw [/mm] r = 0 & s [mm] \not= [/mm] n
Tritt nun keiner der vier Fälle ein, so ist A indefinit [mm] \gdw [/mm] r > 0 & s > 0.
Hierbei ist s die Anzahl der negativen Eigenwerte und r die Anzahl der positiven Eigenwerte.
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Fals noch Fragen - einfach melden.
MfG
Martin
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