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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Do 28.06.2007 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | | Diagonalisieren Sie die Matrc [mm] G=\pmat{ 2 & 0&0&0 \\ 0 & 2&0&0\\1&-2&0&-1\\2&-4&1&0 } [/mm] in [mm] \IC [/mm] |
Mich irritiert das [mm] \IC. [/mm] Ich weiß nicht wie ich damit rechnen muss. kan mir das vielleicht einer mal für die eigenwerte zeigen, das wäre super lieb und nett.
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Hallo Nadine,
nicht irritieren lassen 
Setze an wie immer, bestimme [mm] $det(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E}_4)$
[/mm]
also [mm] det\pmat{ 2-\lambda & 0&0&0 \\ 0 & 2-\lambda&0&0\\1&-2&-\lambda&-1\\2&-4&1&-\lambda}
[/mm]
Das Biest kannste schnell nach der ersten Zeile entwickeln mit Laplace und dann mit Sarrus.
Als charakteristisches Polynom sollte dann rauskommen:
[mm] $cp_A(\lambda)=(2-\lambda)(-\lambda^3+2\lambda^2-\lambda+2)$
[/mm]
Eine Nullstelle ist offensichtlich [mm] \lambda_1=2.
[/mm]
Eine weitere kannst du schnell erraten: [mm] \lambda_2=2
[/mm]
Dann mach ne Polynomdivision [mm] (-\lambda^3+2\lambda^2-\lambda+2):(\lambda-2)=-\lambda^2-1
[/mm]
Und [mm] -\lambda^2-1=0\gdw\lambda^2=-1\gdw\lambda=\pm [/mm] i
Damit hast du deine 4 Eigenwerte.
Nun mach dich mal selber an die Berechnung der Eigenvektoren...
Viel Spaß
LG
schachuzipus
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