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| Aufgabe | Was ist ein Gitterautomorphismus?
Wie stelle ich mir ein Gitter vor, welches durch eine Matrix gegeben ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen
In der Vorlesung kamen nach Skalarprodukten und Gram-Schmidt ein recht kurzer Einschub über Gitter dran. Gerüchten zufolge forscht der Professor auf diesem Gebiet. Jedenfalls ging das sehr schnell und ich habe nun zwei Fragen, die ich nicht in der angegebenen Literatur finden konnte.
1. Es kam der Begriff eines Gitterautomorphismus ohne Definition vor. Was ist das? Was ein Vektorraumautomorphismus ist weiß ich, aber da tut es doch nicht jeder, oder? Für ein Gitter braucht man doch ein Skalarprodukt, damit man Abstände "messen" kann, und die lineare Abbildung muss damit doch irgendwie "harmonieren"?
2. Es kam ein Gitter vor, welches durch eine Matrix gegeben ist. Ich habe nicht verstanden wie das geht. Ist das die Grammatrix? Wie muss ich mir dann das Gitter vorstellen, d.h. wie erhalte ich aus der Matrix die Punkte im n-dimensionalen Vektorraum?
Ich hoffe mal ich poste dies in die richtige Ecke, denn ich konnte dazu in drei LinA-Büchern nichs finden.
Vielen Dank schonmal im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:17 Mo 20.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Was ist ein Gitterautomorphismus?
> Wie stelle ich mir ein Gitter vor, welches durch eine
> Matrix gegeben ist?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo alle zusammen
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> In der Vorlesung kamen nach Skalarprodukten und
> Gram-Schmidt ein recht kurzer Einschub über Gitter dran.
> Gerüchten zufolge forscht der Professor auf diesem Gebiet.
> Jedenfalls ging das sehr schnell und ich habe nun zwei
> Fragen, die ich nicht in der angegebenen Literatur finden
> konnte.
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> 1. Es kam der Begriff eines Gitterautomorphismus ohne
> Definition vor. Was ist das? Was ein
> Vektorraumautomorphismus ist weiß ich, aber da tut es doch
> nicht jeder, oder? Für ein Gitter braucht man doch ein
> Skalarprodukt, damit man Abstände "messen" kann, und die
> lineare Abbildung muss damit doch irgendwie "harmonieren"?
Genau. Ein Gitterautomorphismus ist eine bijektive Abbildung vom Gitter auf sich selber, die gleichzeitig ein Homomorphismus ist (also [mm] $\varphi(a [/mm] + b) = [mm] \varphi(a) [/mm] + [mm] \varphi(b)$ [/mm] erfuellt) und die das Skalarprodukt erhaelt (also [mm] $\langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \varphi(v), \varphi(w) \rangle$).
[/mm]
> 2. Es kam ein Gitter vor, welches durch eine Matrix gegeben
> ist. Ich habe nicht verstanden wie das geht. Ist das die
> Grammatrix? Wie muss ich mir dann das Gitter vorstellen,
> d.h. wie erhalte ich aus der Matrix die Punkte im
> n-dimensionalen Vektorraum?
Es gibt zwei Moeglichkeiten, ein Gitter als eine Matrix zu geben. Einmal als Grammatrix, und das andere Mal als [mm] $\{ A v \mid v \in \IZ^n \} \subseteq \IR^n$, [/mm] wenn $A$ die Matrix ist.
Im zweiten Fall sind die Spalten von $A$ eine [mm] ($\IZ$-)Basis [/mm] des Gitters: jeder Gitterpunkt ist eine Linearkombination dieser Basisvektoren mit Koeffizienten in [mm] $\IZ$. [/mm] (Das Skalarprodukt ist dann normalerweise das Standardskalarprodukt auf [mm] $\IR^n$.)
[/mm]
Im ersten Fall (also Grammatrix gegeben) kommst du nicht direkt an das Gitter, sondern nur an eine Aequivalenzklasse des Gitters. Als Gitter kannst du immer [mm] $\IZ^n$ [/mm] nehmen und dazu mit Hilfe der Grammatrix ein passendes Skalarprodukt konstruieren.
LG Felix
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