Matrix-Darstellung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Do 26.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Betrachte die lineare Abbildung [mm]L:\IR^2\to\IR^3[/mm], [mm](x,y)\mapsto(y,x-y,x+2y)[/mm].
Stelle [mm]L[/mm] als eine Matrix [mm]A_L[/mm] dar. In [mm]\IR^2[/mm] ist die Basis [mm](1,1)[/mm],[mm](1,-1)[/mm] und in [mm]\IR^3[/mm] die Basis [mm](1,1,0)[/mm],[mm](0,1,1)[/mm],[mm](0,1,0)[/mm] gewählt worden.
Meine Lösung:
[mm]L(\vektor{1\\1})=a_{11}\vektor{1\\1\\0}+a_{12}\vektor{0\\1\\1}+a_{31}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
[mm]\vektor{1\\0\\3}=a_{11}\vektor{1\\1\\0}+a_{12}\vektor{0\\1\\1}+a_{31}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
[mm]\vektor{1\\0\\3}=1\vektor{1\\1\\0}+3\vektor{0\\1\\1}+(-4)\vektor{0\\1\\0}[/mm]
Die Darstellung des Vektors [mm]\vektor{1\\0\\3}[/mm] in der Basis des [mm]\IR^3[/mm] lautet also:
[mm]\vektor{1\\0\\3}=\vektor{1\\3\\-4}_\mathcal{B}[/mm].
[mm]L(\vektor{1\\-1})=a_{12}\vektor{1\\1\\0}+a_{22}\vektor{0\\1\\1}+a_{32}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
[mm]\vektor{-1\\2\\-1}=a_{12}\vektor{1\\1\\0}+a_{22}\vektor{0\\1\\1}+a_{32}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
[mm]\vektor{-1\\2\\-1}=(-1)\vektor{1\\1\\0}+(-1)\vektor{0\\1\\1}+4\vektor{0\\1\\0}[/mm]
Die Darstellung des Vektors [mm]\vektor{-1\\2\\-1}[/mm] in der Basis des [mm]\IR^3[/mm] lautet also:
[mm]\vektor{-1\\2\\-1}=\vektor{-1\\-1\\4}_\mathcal{B}[/mm].
Die Matrix-Darstellung ist nun
[mm]A_L:=\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}[/mm]
Meine Probe:
Ein beliebiger Vektor [mm]\delta[/mm] aus [mm]\IR^2[/mm] zur gewählten Basis [mm]\mathcal{A}[/mm] müsste gleich [mm]A_L\delta[/mm] sein...
[mm]L(\delta=2\vektor{1\\1}-1\vektor{1\\-1})=L(\vektor{2\\-1}_\mathcal{A})=\vektor{-1\\3\\0}[/mm]
Nun ist aber...
[mm]\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}\vektor{2\\-1}_\mathcal{A}=\vektor{3\\7\\-12}[/mm] |
Habe ich einen Denk- oder einen Rechenfehler?
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> Betrachte die lineare Abbildung [mm]L:\IR^2\to\IR^3[/mm],
> [mm](x,y)\mapsto(y,x-y,x+2y)[/mm].
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> Stelle [mm]L[/mm] als eine Matrix [mm]A_L[/mm] dar. In [mm]\IR^2[/mm] ist die Basis
> [mm](1,1)[/mm],[mm](1,-1)[/mm] und in [mm]\IR^3[/mm] die Basis [mm](1,1,0)[/mm],[mm](0,1,1)[/mm],[mm](0,1,0)[/mm]
> gewählt worden.
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]L(\vektor{1\\1})=a_{11}\vektor{1\\1\\0}+a_{12}\vektor{0\\1\\1}+a_{31}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1\\0\\3}=a_{11}\vektor{1\\1\\0}+a_{12}\vektor{0\\1\\1}+a_{31}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1\\0\\3}=1\vektor{1\\1\\0}+3\vektor{0\\1\\1}+(-4)\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> Die Darstellung des Vektors [mm]\vektor{1\\0\\3}[/mm] in der Basis
> des [mm]\IR^3[/mm] lautet also:
> [mm]\vektor{1\\0\\3}=\vektor{1\\3\\-4}_\mathcal{B}[/mm].
>
> [mm]L(\vektor{1\\-1})=a_{12}\vektor{1\\1\\0}+a_{22}\vektor{0\\1\\1}+a_{32}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1\\2\\-1}=a_{12}\vektor{1\\1\\0}+a_{22}\vektor{0\\1\\1}+a_{32}\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1\\2\\-1}=(-1)\vektor{1\\1\\0}+(-1)\vektor{0\\1\\1}+4\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
> Die Darstellung des Vektors [mm]\vektor{-1\\2\\-1}[/mm] in der Basis
> des [mm]\IR^3[/mm] lautet also:
>
> [mm]\vektor{-1\\2\\-1}=\vektor{-1\\-1\\4}_\mathcal{B}[/mm].
>
> Die Matrix-Darstellung ist nun
>
> [mm]A_L:=\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}[/mm]
Hallo,
das ist richtig.
>
> Meine Probe:
> Ein beliebiger Vektor [mm]\delta[/mm] aus [mm]\IR^2[/mm] zur gewählten Basis
> [mm]\mathcal{A}[/mm] müsste gleich [mm]A_L\delta[/mm] sein...
>
> [mm]L(\2\vektor{1\\1}-1\vektor{1\\-1})=L(\vektor{2\\-1}_\mathcal{A})=\vektor{-1\\3\\0}[/mm]
Der letzte Vektor stimmt nicht. Du setzt hier einen Vektor, der in Koordinaten bzgl A ist, in f(x,y)=(y,x-y,x+2y) ein. das darfst Du nicht.
Mal schauen: es ist das Bild von [mm] \vektor{1\\3}= \vektor{2\\-1}_\mathcal{A} [/mm] in Koordinaten der neuen Basis [mm] \mathcal{B} \pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}*\vektor{2\\-1}=\vektor{3\\7\\-12}_\mathcal{B} =\vektor{3\\-2\\7}
[/mm]
Und f(1, [mm] 3)=\vektor{3\\-2\\7}.
[/mm]
> Nun ist aber...
>
> [mm]\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}\vektor{2\\-1}_\mathcal{A}=\vektor{3\\7\\-12}[/mm]
Das sind die Koordinaten bzgl der neuen Basis des [mm] \IR^3, [/mm] Du kannst sie umrechnen in Standardkoordinaten, um Dich zu überzeugen, daß alles stimmt.
Gruß v. Angela
> Habe ich einen Denk- oder einen Rechenfehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
Vielen Dank,
habe verstanden, dass ich bei der Probe in die lineare Abbildung nur Vektoren bezüglich der kanonischen Basis einsetzten darf. Dann ist das Bild auch in der kanonischen Basis.
Was ich noch nicht verstanden habe:
> Mal schauen: es ist das Bild von [mm]\vektor{1\\3}= \vektor{2\\-1}_\mathcal{A}[/mm]
>
>
> Und f(1, [mm]3)=\vektor{3\\-2\\7}.[/mm]
>
> Nun ist aber...
>
>
> [mm]\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}\vektor{2\\-1}_\mathcal{A}=\vektor{3\\7\\-12}[/mm]
>
> Das sind die Koordinaten bzgl der neuen Basis des [mm]\IR^3,[/mm] Du
> kannst sie umrechnen in Standardkoordinaten, um Dich zu
> überzeugen, daß alles stimmt.
Warum muss im zweiten Teil der Probe, die Matrix dann aber mit dem Vektor bezüglich der Basis [mm]\mathcal{A}[/mm] multipliziert werden? Und wieso ist der resultierende Vektor in der Basis [mm]B[/mm]?
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> Vielen Dank,
> habe verstanden, dass ich bei der Probe in die lineare
> Abbildung nur Vektoren bezüglich der kanonischen Basis
> einsetzten darf. Dann ist das Bild auch in der kanonischen
> Basis.
>
> Was ich noch nicht verstanden habe:
> > Mal schauen: es ist das Bild von [mm]\vektor{1\\3}= \vektor{2\\-1}_\mathcal{A}[/mm]
> >
> >
> > Und f(1, [mm]3)=\vektor{3\\-2\\7}.[/mm]
> >
> > Nun ist aber...
> >
> >
> >
> [mm]\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}\vektor{2\\-1}_\mathcal{A}=\vektor{3\\7\\-12}[/mm]
> >
> > Das sind die Koordinaten bzgl der neuen Basis des [mm]\IR^3,[/mm] Du
> > kannst sie umrechnen in Standardkoordinaten, um Dich zu
> > überzeugen, daß alles stimmt.
>
> Warum muss im zweiten Teil der Probe, die Matrix dann aber
> mit dem Vektor bezüglich der Basis [mm]\mathcal{A}[/mm]
> multipliziert werden? Und wieso ist der resultierende
> Vektor in der Basis [mm]B[/mm]?
Hallo,
weil die Matrix, die Du aufgestellt hast, [mm] \pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4}, [/mm] gerade die Matrix bzgl der Nichtstandardbasen A und B ist. Du hast sie doch extra so berechnet!
(Ich fand übrigens den Aufgabentext etwas komisch. Ist der 1:1 original?)
Die Basis bzgl Standardkoordinaten wäre ja [mm] \pmat{0&1\\1&-1\\1&2}, [/mm] die gewinnt man fix aus der Funktionsvorschrift. Hier kannst Du nach Herzenslust mit Vektoren bzgl der Standardbasis multiplizieren und bekommst auch solche.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
Danke nochmal angela,
> Hallo,
>
> weil die Matrix, die Du aufgestellt hast,
> [mm]\pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4},[/mm] gerade die Matrix bzgl der
> Nichtstandardbasen A und B ist. Du hast sie doch extra so
> berechnet!
>
> (Ich fand übrigens den Aufgabentext etwas komisch. Ist der
> 1:1 original?)
Fast, denn aus "werden" ist "worden" geworden, da hast du recht.
1.) Was genau findest du komisch????
> Die Basis bzgl Standardkoordinaten wäre ja
> [mm]\pmat{0&1\\1&1\\1&2},[/mm] die gewinnt man fix aus der
> Funktionsvorschrift.
Da stimme ich dir nicht zu: Die Matrix bezüglich der kanonischen Basis (Standardbasis) im [mm]\IR^2[/mm] ist bei mir
[math]\pmat{0&1\\1&[red]-1[/red]\\1&2},[/math]
2.) Wieso klappt das rote Markieren nicht in den Formeln?
> Hier kannst Du nach Herzenslust
> mit Vektoren bzgl der Standardbasis multiplizieren und
> bekommst auch solche.
>
> Gruß v. Angela
Ok, Vektor in Stadardbasis wird auf Standarbasis-Vektor abgebildet.
Matrix-Darstellung bezüglich Standardbasis multiplizert mit einem Vektor in Standardbasis ergibt einen Vektor in Standardbasis.
Ich hatte mir die Aufgabenstellung vorher vereinfacht gestellt und auch mit Standardbasen gerechnet und hatte eine gewisse Erwartungshaltung.
3.) Ich sehe deshalb nicht, warum die Matrix bezgl. der neuen Basen einen Vektor des Definitionsbereichs in der Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] darstellt und nicht in [mm]\mathcal{A}[/mm]. Was habe ich nicht verstanden?
Gruß,
Adrian.
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> > (Ich fand übrigens den Aufgabentext etwas komisch. Ist der
> > 1:1 original?)
>
> Fast, denn aus "werden" ist "worden" geworden, da hast du
> recht.
> 1.) Was genau findest du komisch????
Hallo,
"ist gewählt worden" ist komisch, "soll gewählt werden" wäre nicht komisch.
>
> > Die Basis bzgl Standardkoordinaten wäre ja
> > [mm]\pmat{0&1\\1&1\\1&2},[/mm] die gewinnt man fix aus der
> > Funktionsvorschrift.
>
> Da stimme ich dir nicht zu: Die Matrix bezüglich der
> kanonischen Basis (Standardbasis) im [mm]\IR^2[/mm] ist bei mir
>
[mm] >\pmat{0&1\\1&[\red{-1}\\1&2}.
[/mm]
Ja, das war natürlich ein Flüchtigkeitsfehler.
> 2.) Wieso klappt das rote Markieren nicht in den Formeln?
In Formeln: "backslash red", und das, was farbig sein soll, dann in geschweifte Klammern.
> Ok, Vektor in Stadardbasis wird auf Standarbasis-Vektor
> abgebildet.
> Matrix-Darstellung bezüglich Standardbasis multiplizert mit
> einem Vektor in Standardbasis ergibt einen Vektor in
> Standardbasis.
Genauer müßte man sagen: Matrix-Darstellung bzgl der Standardbasen, denn wir haben es ja in Start- und Zielraum mit verschiedenen Basen zu tun.
>
> Ich hatte mir die Aufgabenstellung vorher vereinfacht
> gestellt und auch mit Standardbasen gerechnet und hatte
> eine gewisse Erwartungshaltung.
???
>
> 3.) Ich sehe deshalb nicht, warum die Matrix bezgl. der
> neuen Basen einen Vektor des Definitionsbereichs in der
> Basis [mm]\mathcal{B}[/mm] darstellt und nicht in [mm]\mathcal{A}[/mm]. Was
> habe ich nicht verstanden?
Du hast die Matrix doch extra so aufgestellt:
in den Spalten Deiner neuen Matrix [mm] _BM(f)_A [/mm] stehen die Bilder der neuen [mm] (\IR^2-)Basis [/mm] A in Koordinaten bzgl der neuen [mm] (\IR^3-)Basis [/mm] B.
Diese Matrix darf man nur mit Koordinatenvektoren bzgl A füttern. Willst Du mit Ihr aus irgendeinem Grunde die Bilder von Vektoren bzgl der Standardbasis ermitteln, so mußt Du diese erst in Koordinaten bzgl A schreiben.
Möchte ich das Bild von [mm] \vektor{9\\-1} [/mm] mithilfe von [mm] _BM(f)_A [/mm] wissen, so muß ich erst umwandeln: [mm] \vektor{9\\-1}=4*\vektor{1\\1} +5*\vektor{1\\-1}=\vektor{4\\5}_A.
[/mm]
Den multipliziere ich mit der Matrix [mm] _BM(f)_A: [/mm] $ [mm] \pmat{1&-1\\3&-1\\-4&4} [/mm] $ [mm] \vektor{4\\5}= \vektor{a\\b\\c}.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] ist in Koordinaten bzgl B, also [mm] \vektor{a\\b\\c}_B, [/mm] weil die Matrix ja so gemacht ist. Möchte ich ihn in Standardkoordinaten, so muß ich ihn noch umwandeln.
> Was habe ich nicht verstanden?
Ich weiß es nicht genau, insbesondere deshalb nicht, weil Du die Matrix ja richtig aufgestellt hast.
Vielleicht sind Dir die Koordinatenvektoren nicht klar.
Dazu kannst Du mal folgendes tun:
mal Dir ein normales Koordinatensystem, dorthinein den Vektor [mm] \vektor{9\\-1}.
[/mm]
Nun nimm eine andere Farbe und zeichne das Koordinatensystem ein, welches von [mm] \vektor{1\\1}, \vektor{1\\-1} [/mm] aufgspannt wird.
Nun schreibe die Koordinaten des zuvor eingezeichneten Vektors, welcher völlig unverändert geblieben ist, bzgl des neuen Koordinatensystems auf.
Gruß v. Angela
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> Gruß,
> Adrian.
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