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| Aufgabe | Es seien A und B zwei kommutierende n x n-Matrizen.
Zeigen Sie:
exp(A+B) = exp(A) [mm] \cdot [/mm] exp(B):
Folgern Sie daraus, dass für eine beliebige Matrix A die Matrix exp(A) invertierbar ist. |
Hallo,
Ich sitzt jetzt schon wieder mal ein paar Stunden vor dieser Aufgabe und tappe irgendwie im Kreis.
Das erste was ich mir mal gedacht habe, ist es in die Reihenform umzuschreiben also:
exp(A) [mm] =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}
[/mm]
Da bin ich dann eine Weile drauf hängengeblieben, bis ich das über Bord geworfen habe, auch wenn ich noch glaube das es nicht ganz falsch ist.
Als zweites hab ich mir dann überlegt, wie ich es noch schreiben könnte.
Der Ansatz sah dann wie folgt aus.
[mm] \exp{A}\cdot\exp{B}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bigg(1+\frac{A}{k}\bigg)^k \cdot \bigg(1+\frac{B}{k}\bigg)^k
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}\bigg(1+\frac{A+B}{k}+\frac{A\cdot B}{k^2}\bigg)^k
[/mm]
So und jetzt meine ich selbst natürlich zu sehen, dass meien letzte Gleichung gegen exp(A+B) konvergiert. Ich kanns nur nicht zeigen.
Aber selbst wenn ich es beweisen könnte ist mir schleierhaft, wie ich daraus folgere, dass exp(A) invertierbar ist.
Danke im Vorraus,
Erlkoenig
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
B=-A
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 Mo 17.05.2010 | | Autor: | erlkoenig |
Mich würde noch interessieren wie ich die Konvergenz gegen exp(A+B) auf dem Papier zeige.
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> Es seien A und B zwei kommutierende n x n-Matrizen.
>
> Zeigen Sie:
> exp(A+B) = exp(A) [mm]\cdot[/mm] exp(B):
>
> Folgern Sie daraus, dass für eine beliebige Matrix A die
> Matrix exp(A) invertierbar ist.
> Das erste was ich mir mal gedacht habe, ist es in die
> Reihenform umzuschreiben also:
>
> exp(A) [mm]=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}[/mm]
> Da bin ich dann eine Weile drauf hängengeblieben, bis ich
> das über Bord geworfen habe,
Hallo,
Du solltest es nicht über Bord werfen.
es ist doch immerhin die Def. von exp(A) und hat von daher den Vorteil, daß es gar nicht verkehrt sein kann.
> auch wenn ich noch glaube das
> es nicht ganz falsch ist.
>
> Als zweites hab ich mir dann überlegt, wie ich es noch
> schreiben könnte.
> Der Ansatz sah dann wie folgt aus.
>
> [mm]\exp{A}\cdot\exp{B}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bigg(1+\frac{A}{k}\bigg)^k \cdot \bigg(1+\frac{B}{k}\bigg)^k[/mm]
Das ist mir schon deswegen suspekt, weil mir nicht klar ist, wie Du die Zahl 1 hier zu einer Matrix addierst.
Bleib' bei Deiner ersten Idee.
Schreib exp(A+B) auf und exp(A)*exp(B),
und dann forme die Ausdrücke um, bis Du siehst, daß sie gleich sind.
Bedenke, daß Du dank AB=BA weißt, was [mm] (A+B)^k [/mm] ist,
und exp(A)*exp(B) bekommst Du mit der Multiplikation v. Reihen unter Kontrolle.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Mo 17.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angela:
orientiere Dich am Beweis des Add.-Theorems
[mm] $e^{a+b}=e^a*e^b$
[/mm]
für reelle Zahlen a und b
FRED
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