Matrix-Faktorisierung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr,
ich habe folgendes kleines Problem bei der Faktorisierung einer Matrix.
Es geht darum jede Matrix A [mm] \in M_{m,n}(\IR) [/mm] eine Faktorisierung hat: A=PT, wobei [mm] P\in M_{m,n}(\IR), T\in M_{,n}(\IR).
[/mm]
T obere Dreiecksmatrix mit positiven Einträgen
Spalten von P sind Orthonomalsystem
Nun habe ich folgende Matrix [mm] A:=\pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 2 }
[/mm]
1.Schritt: Orthonormalisierung der Spalten:
Hier haben wir nach Anwendung des orthonormaliserungsverfahen von Gramschmidt [mm] b_1= \vektor{3/(\wurzel{10}) \\ 1/(\wurzel{10})}
[/mm]
[mm] b_2=\vektor{-1/(\wurzel{10}) \\ 3/(\wurzel{10})}
[/mm]
Diese bilden nun die Spalten von P: [mm] \pmat{ 3/(\wurzel{10}) & -1/(\wurzel{10}) \\ 1/(\wurzel{10}) & 3/(\wurzel{10}) }
[/mm]
T berechnet sich nun daraus, dass zwischen den Vektoren und den orthonomalisierten Vektoren folgende Beziehung steht:
[mm] u_j [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{j}t_{kj}b_k
[/mm]
Also [mm] \vektor{3 \\ 1} =t_{11}*\vektor{3/(\wurzel{10}) \\ 1/(\wurzel{10})}=> t_{11} [/mm] = [mm] \wurzel{10}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] = [mm] t_{12}*\vektor{3/(\wurzel{10}) \\ 1/(\wurzel{10})}+
[/mm]
[mm] t_{22}*\vektor{-1/(\wurzel{10}) \\ 3/(\wurzel{10})}
[/mm]
Und da habe ich nun herausbekommen: [mm] t_{12}= 5/12*\wurzel{40}, t_{22}= [/mm] 1/4*wurzel{40}
[mm] (t_{kj})= [/mm] T [mm] t_{21}=0
[/mm]
[mm] \pmat{\wurzel{10} & 5/12*\wurzel{40} \\ 0 & 1/4*wurzel{40} }=T
[/mm]
beim zusammenrechnen kommt dann aber leider was falsches raus an manchen Einträgen von A. Kan das vielleicht jemand nachrechnen und den Fehler finen?
Oder mir sagen was ich falsch gemacht habe`??
Lg Sandra
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 06.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sandra!
> [mm]\vektor{2 \\ 2}=t_{12}*\vektor{3/(\wurzel{10}) \\ 1/(\wurzel{10})}+t_{22}*\vektor{-1/(\wurzel{10}) \\ 3/(\wurzel{10})}[/mm]
> Und da habe ich nun herausbekommen: [mm]t_{12}= 5/12*\wurzel{40}[/mm], [mm]t_{22}= 1/4*\wurzel{40} [/mm]
Da hast du dich verrechnet. [mm]t_{12} = \bruch{8}{\sqrt{10}}[/mm], [mm]t_{22} = \bruch{4}{\sqrt{10}}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Danke schön!!
Jetzt wäre noch die Frage: WArum existiert für jede Matrix eine solche Faktorisierung?
|
|
|
| |
|
Hallo,
hast du schon mal was von dem "Gaußschen Eliminationsverfahren" oder "Gauß-Algorithmus" gehört? (war nur ne rethorische Frage, natürlich hast du).
Was du da machst, ist ja im Prinzip nichts anders als lauter invertierbare Elementarmatrizen (Darstellungsmatrizen von Automorphismen) an deine Ausgangsmatrix $A$ zu multiplizieren. Diese Elementarmatrizen addieren z.B. das [mm] $\lambda$-fache [/mm] der i.ten Zeile zur j.ten Zeile hinzu, oder multiplizieren die i.te Zeile mit [mm] $\lambda$. [/mm] Nach Ausführen dieses Algorithmus erhälst du z.B. immer eine obere Dreiecksmatrix. Das Produkt dieser Einheitsmatrizen ist also das Inverse deiner Nichtdreiecks-Matrix.
Zumindest ist dies ein intuitive Sichtweise, wieso die Dreieckszerlegung immer funktioniert.
Viele Grüße,
Nick
|
|
|
|
