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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 23.04.2006 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
ich habe da drei mittelschwere Probleme mit Normen. Und zwar habe ich drei Aufgabenteile (von vieren), bei denen ich jeweils eine Ahnung habe, aber nicht wirklich weiter komme. Es wäre deshalb schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:
1. Man hat eine beliebige Vektornorm [mm] ||\cdot \||_{V} [/mm] auf [mm] \IK^{n} [/mm] und soll zeigen, dass durch folgende Vorschrift eine der Vektornorm zugeordnete Matrixnorm definiert wird.
für alle A [mm] \in \IK^n: [/mm] ||A|| = sup [mm] (||Ax||_{V})/(||x||_{V}) [/mm] mit x [mm] \in [/mm] V \ {0}
Meiner Meinung nach muss man hier die üblichen Normeigenschaften nachweisen. Allerdings hapert es genau dort schon, weil ich keine Ahnung hab, wie ich das Supremum beim Umformen oder Begründen händeln soll.
Weiterhin soll man hier noch zeigen, dass für quadratische Matrizen jede zugeordnete Matrixnorm submultiplikativ ist.
Dafür hab ich leider keine Idee und bin deshalb für jeden Tipp dankbar.
2. Jetzt soll man zu zwei angegebenen Vektornormen (nämlich [mm] ||x||_{1} [/mm] und [mm] ||x||_{infty}) [/mm] die zugehörige Matrixnorm bestimmen.
Hier weiß ich zwar, welche Matrixnormen es sind. Allerdings hab ich keinen Plan, wie ich zum Bestimmen vorgehen muss, da dieses Übungsblatt das erste zum Thema Normen ist und wir auch in der Vorlesung noch nichts dazu gemacht haben.
3. Beim letzten Teil ist gefragt, ob die Gesamtnorm
[mm] ||A||_{G} [/mm] = n*max{i,j} [mm] |a_{ij}|
[/mm]
einer Vektornorm zugeordnet ist.
Außer der Vermutung, dass dies aufgrund der dummen Fragestellung nicht der Fall sein wird, hab ich allerdings keine Idee, wie ich das zeigen oder widerlegen könnte.
Ihr seht, dass ich dringend eure Hilfe brauche. Ich wäre euch wirklich sehr dankbar!
Liebe Grüße, vielen Dank und schönes Restwochenende
Jasmin
PS: Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
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Hallo Jasmin,
> 1. Man hat eine beliebige Vektornorm [mm]||\cdot \||_{V}[/mm] auf
> [mm]\IK^{n}[/mm] und soll zeigen, dass durch folgende Vorschrift
> eine der Vektornorm zugeordnete Matrixnorm definiert wird.
>
> für alle A [mm]\in \IK^n:[/mm] ||A|| = sup [mm](||Ax||_{V})/(||x||_{V})[/mm]
> mit x [mm]\in[/mm] V \ {0}
Hier wäre zunächst interessant wie ihr "zugeordnete Matrixnorm" definiert habt. Dies wird ja gelegentlich genauso gemacht. (siehe ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia)
> Meiner Meinung nach muss man hier die üblichen
> Normeigenschaften nachweisen. Allerdings hapert es genau
> dort schon, weil ich keine Ahnung hab, wie ich das Supremum
> beim Umformen oder Begründen händeln soll.
Das die Dreiecksungleichung für das Supremum auch gilt muß man sich sicher extra überlegen.
sup(g(x)+f(x)) [mm] \le [/mm] sup(f(x))+ sup(g(x))
bzw.
[mm] sup(\alpha f(x))=\alpha [/mm] * sup(f(x))
Die reine Überlegung sollte hier aber reichen
> Weiterhin soll man hier noch zeigen, dass für quadratische
> Matrizen jede zugeordnete Matrixnorm submultiplikativ ist.
> Dafür hab ich leider keine Idee und bin deshalb für jeden
> Tipp dankbar.
> 2. Jetzt soll man zu zwei angegebenen Vektornormen (nämlich
> [mm]||x||_{1}[/mm] und [mm]||x||_{infty})[/mm] die zugehörige Matrixnorm
> bestimmen.
>
> Hier weiß ich zwar, welche Matrixnormen es sind. Allerdings
> hab ich keinen Plan, wie ich zum Bestimmen vorgehen muss,
> da dieses Übungsblatt das erste zum Thema Normen ist und
> wir auch in der Vorlesung noch nichts dazu gemacht haben.
Hier würde ich zunächst versuchen,
[mm]||A||_V \le \bruch{||Ax||_{V})}{(||x||_{V})}[/mm]
Für die vermuteten Matrixnormen zu zeigen(also die Definitionen einsetzen und "rumprobieren") und dann die x zu finden für die Gleichheit auch angenommen wird.
> 3. Beim letzten Teil ist gefragt, ob die Gesamtnorm
>
> [mm]||A||_{G}[/mm] = n*max{i,j} [mm]|a_{ij}|[/mm]
>
> einer Vektornorm zugeordnet ist.
>
> Außer der Vermutung, dass dies aufgrund der dummen
> Fragestellung nicht der Fall sein wird, hab ich allerdings
> keine Idee, wie ich das zeigen oder widerlegen könnte.
Falls Du eine Matrix A findest für die
[mm]||A||_V = \bruch{||Ax||_{V})}{(||x||_{V})}[/mm]
nicht gelten kann, wärst Du fertig. Das kannst Du ja mal versuchen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 25.04.2006 | | Autor: | Haeslein |
Hallo,
erstmal danke für deine ausführliche Antwort. Leider bin ich bei Aufgabenteil 3 immer noch nicht weiter gekommen.
Hat da vielleicht noch jemand eine Idee?
Liebe Grüße und vielen Dank!
Jasmin
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Hallo und guten Morgen,
erstmal noch ein allgemeiner Tip (oder Tipp, wie es neudeutsch geschrieben wird):
Es ist
[mm] \parallel A\parallel =\sup_{x\neq 0}\ldots \:\: =\: \sup_{\parallel x\parallel=1}\parallel Ax\parallel
[/mm]
und die letztere Darstellung erleichtert mitunter beim Nachweis der Normeigenschaften das Rechnen.
Und diese Darstellung hilft meines Erachtens auch beim Teil 3:
Nimm an, es gelte fuer die Gesamtnorm
[mm] \parallel A\parallel =\sup_{\parallel x\parallel =1}\parallel Ax\parallel
[/mm]
fuer eine Vektornorm.
Dann setz zB mal die Standardbasisvektoren [mm] e_i [/mm] in die rechte Seite ein.
Gruss,
Mathias
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Hallo Jasmin,
Um meinen Tip zu 3 noch zu komplettieren. Wenn Du die Einheitsmatrix in deine unter 1. gezeigte Normdefinition einsetzt sollte klar werden das die Norm der Einheitsmatrix für jede zugeordnete Matrixnorm gleich sein muß.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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