Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 16.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Ermitteln Sie, falls möglich, alle Lösungen des Systems Ax=b für [mm] \lambda [/mm] = 0 und für [mm] \lambda [/mm] = 1,5
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & \lambda \\ \lambda-1 & -2 & 7 \\ -2 & -4 & -3 }
[/mm]
[mm] b=\pmat{ 3 \\ 11 \\ -12 } [/mm] |
Hallo, ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Alsö Lösung ist gegeben,
für [mm] \lambda=0 [/mm] : [mm] x=\pmat{ 3 \\ 0 \\ 2 }+t\pmat{ -2 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Ich weis nicht wie ich vorgehen soll.
Und woher kommt die Variable t?
Kann mir das evtl. jemand erklären? Bzw. einen Tipp geben der mich der Lösung näher bringt.
Da wäre ich wirklich sehr dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Fr 17.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein GS A*x=0 hat, wenn es einen Lösungsvektor hat damit auch immer alle Vielfache davon.
Wenn das GS A*x=b eine (spezielle Lösung hat, dann kann man dazu alle Lösungen des homogenen Systems addieren. daher die t, die vielfachen der Lösung der homogenen GS
wie du es löst?
einfach mit dem Gauss Algorithmus, also in obere Dreiecksgestalt bringen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 17.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank,
doch ich bin ehrlich, ich weis nicht wie ich unter anderem auf [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2} [/mm] komme.
|
|
|
| |
|
Hallo, für [mm] \lambda [/mm] = 0 bekommst Du
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 3 \\ -1 & -2 & 7 & 11 \\ -2 & -4 & -3 & -12}
[/mm]
bilde neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
bilde neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 1 plus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 7 & 14 \\ 0 & -8 & -3 & -6}
[/mm]
bilde neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 2 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 7 & 14 \\ 0 & 0 & 17 & 34}
[/mm]
aus Zeile 3 folgt:
[mm] 17*x_3=34
[/mm]
[mm] x_3=2
[/mm]
aus Zeile 2 folgt:
[mm] -4*x_2+7*2=14
[/mm]
[mm] -4*x_2=0
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
aus Zeile 1 folgt:
[mm] x_1-2*0=3
[/mm]
[mm] x_1=3
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 20.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank.
Also einen Teil von der Lösung bekomme ich ja noch hin.
Aber bei mir hakt es an dem "t-Term".
Wie erhalte ich diese Lösung? Das hängt doch von einer Parameterlösung ab, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
für [mm] \lambda=0 [/mm] hast Du
Hallo, für $ [mm] \lambda [/mm] $ = 0 bekommst Du
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & -2 & 7 & 11 \\ -2 & -4 & -3 & -12} [/mm] $
neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 1 plus Zeile 3
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 7 & 14 \\ 0 & 0 & -3 & -6} [/mm] $
neue 2. Zeile: Zeile 2 durch 7
neue 3. Zeile: Zeile 3 durch-3
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2} [/mm] $
neue 3. Zeile: 3. Zeile minus 2. Zeile
$ [mm] \pmat{ \red{1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & \red{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
Nun ist die Matrix (!!! Nicht: Matrize) auf Zeilenstufenform.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rotmarkiert) stehen in der 1. und 3. Spalte. Also kann die 2. Variable frei gewählt werden:
[mm] x_2=t.
[/mm]
Zeile 2 liefert
[mm] x_3=2,
[/mm]
Zeile 1 liefert
[mm] x_1=3-2*x_2=3-2t.
[/mm]
Also haben alle Lösungen die Gestalt [mm] \vec{x}=\vektor{3-2t\\t\\2}=\vektor{3\\0\\2}+t*\vektor{-2\\1\\0}
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 20.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ich danke dir, ich habe das jetzt relativ verstanden.
Doch bitte noch eine Frage, was ist ein "führendes Element"?
|
|
|
| |
|
> Ich danke dir, ich habe das jetzt relativ verstanden.
> Doch bitte noch eine Frage, was ist ein "führendes
> Element"?
Ich bezeichne so das erste von Null verschiedene Element einer Nichtnullzeile in der Zeilenstufenform.
Hab' sie ja zum besseren Verständnis auch rot markiert.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Di 21.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, das habe ich dann verstanden.
Danke dir.
|
|
|
| |
|
> Hallo, für [mm]\lambda[/mm] = 0 bekommst Du
>
> [mm]\pmat{ 1 & \red{-2} & 0 & 3 \\ -1 & -2 & 7 & 11 \\ -2 & -4 & -3 & -12}[/mm]
Hallo,
anstelle der rotmarkierten -2 gehört dort eine 2 hin,
was natürlich Auswirkungen auf die Lösung hat.
LG Angela
>
> bilde neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
> bilde neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 1 plus Zeile 3
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 7 & 14 \\ 0 & -8 & -3 & -6}[/mm]
>
> bilde neue 3. Zeile: 2 mal Zeile 2 minus Zeile 3
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 7 & 14 \\ 0 & 0 & 17 & 34}[/mm]
>
> aus Zeile 3 folgt:
>
> [mm]17*x_3=34[/mm]
>
> [mm]x_3=2[/mm]
>
> aus Zeile 2 folgt:
>
> [mm]-4*x_2+7*2=14[/mm]
>
> [mm]-4*x_2=0[/mm]
>
> [mm]x_2=0[/mm]
>
> aus Zeile 1 folgt:
>
> [mm]x_1-2*0=3[/mm]
>
> [mm]x_1=3[/mm]
>
> Steffi
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 20.06.2016 | | Autor: | Steffi21 |
Danke Angela, was doch ein Vorzeichenfehler bewirken kann, ich habe mich gewundert, dass ich eine parameterfreie Lösung bekomme, habe es dann aber leider nicht hinterfragt, warum es so ist, @ Ice-Man sorry, Steffi
|
|
|
|
