Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 03.05.2007 | | Autor: | aineias |
| Aufgabe | | Sei A eine 3 x 3-Matrix derart, dass Ax = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] keine Lösung hat. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist. |
hallo,
die aufgabe mag zwar leicht klingen, dennnoch verstehe ich nicht wie ich vorgehen muss!!! wenn ich eine xbeliebige 3x3-matrix nehme, habe ich allerdings nicht gezeigt, dass es für alle 3x3-matrizen gilt... *g*
wie kann man das denn formal für alle 3x3-matrizen ausdrücken????
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Schau dir mal das Gleichungssystem in den drei Variablen an
und was bedeutet keine Lösung.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:50 Do 03.05.2007 | | Autor: | aineias |
hmmm also ich "sehe" da nix...
ein LGS (matrix) enthält doch keine lösung, wenn nach zeilen umformungen in der letzten zeile steht: 0 [mm] \not= [/mm] c, wobei in dem fall c=1...
wie kann man denn sowas "sehen"???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
oder wenn sich zwei Zeilen widersprechen z.B
x+y+x=3
2x+2y+2z=5
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:26 Do 03.05.2007 | | Autor: | aineias |
hmmm ist es dann uns überlassen, wie die matrix aussieht??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Nein, du sollst es allgemein Zeigen ....
|
|
|
| |
|
> Sei A eine 3 x 3-Matrix derart, dass Ax =
> [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] keine Lösung
> hat. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist.
Hallo,
für den Beweis sehe ich pechschwarz, denn die Aussage stimmt nicht.
Wenn die Gleichung keine Lösung hat, liegt [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] nicht im Bild(A).
Also ist dim BildA ???
Das bedeutet???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Wie zeige ich denn durch einen Widerspruchsbeweis, dass Ax keine Lösung hat und NICHT invertierbar ist?
(P=Q)-> [mm] (\neg [/mm] Q= [mm] \neg [/mm] P)
P=Ax= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] keine Lösung
Q=A* [mm] A^{-1} [/mm] =En
[mm] \neg [/mm] Q= es gibt [mm] A^{-1}
[/mm]
[mm] \neg [/mm] P=Ax [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Aber wie geht es weiter???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Nimm an, dass A invertierbar ist und wähle:
[mm] $x:=A^{-1}(1,0,1)^t$
[/mm]
Berechne nun Ax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Sa 05.05.2007 | | Autor: | aineias |
ehhmm wie kommst du denn auf diese aussage, x:= A^-1 [mm] (1,0,1)^t [/mm] ????
@ angela: sorry ich hab mich vertan. man sollte zeigen, dass A NICHT invertierbar ist.
aber irgendwie leutet mir dieser beweisvorgang nicht ein... *zweifel*
reicht es wenn ich behaupte, dass aufgrund der null in (1,0,1) eine nullzeile entstehen könnte und somit die matrix nicht invertierbar sein kann?????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ich hatte das Gefühl, dass Du die vollständige Erklärung von Angela nicht verstehst oder einsiehst ...
Ausserdem wolltest Du scheinbar einen Widerspruchsbeweis.
Damit es nicht an den Notationen scheitert:
Du wählst unter der Annahme, dass [mm] $A^{-1}$ [/mm] existierst den folgenden Vektor x:
$x:= [mm] A^{-1} \vektor{1\\0\\1}$
[/mm]
Das Bild unter A von x ist dann trivial zu berechnen und ergibt ... ???
Wie kommt man auf "so einen Ansatz"?
Der Vektor x wäre der "Ursprungsvektor" von [mm] $\vektor{1\\0\\1}$ [/mm] unter A.
(welcher übrigens nach Deiner Voraussetzung gar nicht existiert).
Mehr fällt mir dazu nicht mehr ein. Vielleicht hilft es Dir trotzdem ... ?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Sa 05.05.2007 | | Autor: | aineias |
> Das Bild unter A von x ist
> dann trivial zu berechnen und ergibt ... ???
>
wie kann man denn so einen x trivialerweise berechnen, wenn du A nicht gegeben ist????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Weil man weiss, was $A [mm] \cdot A^{-1}$ [/mm] bzw. [mm] $A^{-1} \cdot [/mm] A$ ist, egal wie A nun "explizit aussieht".
Was verstehst Du denn unter [mm] $A^{-1}$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 05.05.2007 | | Autor: | aineias |
ja also A^-1 ist doch das inverse von A.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die Frage ist nur, was Du unter einer "Inversen" verstehst!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 05.05.2007 | | Autor: | aineias |
????? also jetzt bin ich ganz irritiert...
das inverse von A ist doch A^-1, so dass gilt A*A^-1=En.
aber wie kann ich das denn in dieser aufgabe umsetzen?????
|
|
|
| |
|
> das inverse von A ist doch A^-1, so dass gilt A*A^-1=En.
> aber wie kann ich das denn in dieser aufgabe umsetzen?????
MicMuc schrieb irgendwo:
"Du wählst unter der Annahme, dass $ [mm] A^{-1} [/mm] $ existierst den folgenden Vektor x:
$ x:= [mm] A^{-1} \vektor{1\\0\\1} [/mm] $
Das Bild unter A von x ist dann trivial zu berechnen und ergibt ... ??? "
Das Bild unter A von x ist dann (wirklich leicht auszurechnen)
[mm] Ax=A(A^{-1} \vektor{1\\0\\1})=(AA^{-1})\vektor{1\\0\\1}=E\vektor{1\\0\\1}=\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
So. Das muß man sich nun auf der Zunge zergehen lassen.
Vorausgesetzt war, daß [mm] Ax=\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
keine Lösung hat.
Die Annahme, daß A invertierbar ist, führt dazu, daß die Gleichung eine Lösung hat.Widerspruch. Also nicht invertierbar.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Wie zeige ich denn durch einen Widerspruchsbeweis, dass Ax
> keine Lösung hat und NICHT invertierbar ist?
Hallo,
wieso willst Du einen Widerspruchsbeweis machen?
Das geht doch übers Bild auf direktem Wege sehr gut.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Sa 05.05.2007 | | Autor: | aineias |
die dim von bild(A) wäre somit 1 und das heisst?? muss sie denn 3 dimensional sein??
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du würdest es Antwortenden leichter machen, wenn Du zitieren würdest, worauf Du Dich beziehst.
Ich schrieb also:
>> Wenn die Gleichung keine Lösung hat, liegt [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>> nicht im Bild(A).
>> Also ist dim BildA ???
>> Das bedeutet???
> die dim von bild(A) wäre somit 1 und das heisst??
Wie kommst Du darauf, daß die Dimension des Bildes =1 ist? Das wissen wir nicht.
Wir wissen aber, daß sie <3 ist.
Somit ist die zur Matrix gehörende Abbildung nicht surjektiv.
> muss sie
wer?
> denn 3 dimensional sein??
Wenn Du die Matrix invertieren möchtest, muß doch die entsprechende Abbildung bijektiv sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
