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| Aufgabe | Es seien [mm] \lambda_{1} [/mm] , ... , [mm] \lambda_{n} [/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen ungleich Null. Im Raum der stetigen Funktionen auf R sei V der von [mm] e^{\lambda_{1} * x} [/mm] * sin ( x ) , [mm] e^{\lambda_{1} * x} [/mm] * cos ( x ) , .... ,
[mm] e^{\lambda_{n} * x} [/mm] * sin ( x ) , [mm] e^{\lambda_{n} * x} [/mm] * cos ( x ) erzeugte Untervektorraum.
Weiter sei der Endomorphismus phi : V [mm] \to [/mm] V , phi(f) = f'' gegeben.
Zeigen Sie zunächst, dass die obigen Vektoren eine Basis von V bilden und phi tatsächlich ein Endomorphismus von V ist. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von phi. Ist phi diagonalisierbar über R? Wie sieht es über C aus ? Wenn ja , bestimmten sie eine Basis von V, so dass die zugehörige Abbildungsmatrix von phi Diagonalform besitzt |
Wie ich zeige das die Vektoren eine Basis sind weiß ich. Doch leider hab ich keine Ahnung wie ich hier eine Matrix aufstellen kann. Oder muss ich die Basisvektoren 2 mal ableiten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm]\lambda_{1}[/mm] , ... , [mm]\lambda_{n}[/mm] paarweise
> verschiedene reelle Zahlen ungleich Null. Im Raum der
> stetigen Funktionen auf R sei V der von [mm]e^{\lambda_{1} * x}[/mm]
> * sin ( x ) , [mm]e^{\lambda_{1} * x}[/mm] * cos ( x ) , .... ,
> [mm]e^{\lambda_{n} * x}[/mm] * sin ( x ) , [mm]e^{\lambda_{n} * x}[/mm] *
> cos ( x ) erzeugte Untervektorraum.
> Weiter sei der Endomorphismus phi : V [mm]\to[/mm] V , phi(f) = f''
> gegeben.
>
> Zeigen Sie zunächst, dass die obigen Vektoren eine Basis
> von V bilden und phi tatsächlich ein Endomorphismus von V
> ist. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von phi.
> Ist phi diagonalisierbar über R? Wie sieht es über C aus
> ? Wenn ja , bestimmten sie eine Basis von V, so dass die
> zugehörige Abbildungsmatrix von phi Diagonalform besitzt
> Wie ich zeige das die Vektoren eine Basis sind weiß ich.
> Doch leider hab ich keine Ahnung wie ich hier eine Matrix
> aufstellen kann. Oder muss ich die Basisvektoren 2 mal
> ableiten?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, genau.
Du bestimmst jetzt erstmal für jeden der Basisvektoren sein Bild unter der Abbildung [mm] \phi, [/mm] also die zweite Ableitung, und dann schreibst Du das Bild als Koordinatenvektor bzgl. Deiner Basis.
Damit hast Du dann die Spalten Deiner Darstellungsmatrix und kannst die Eigenwerte von [mm] \phi [/mm] bestimmen.
Gruß v. Angela
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Also hab ich in der ersten Spalte [mm] (\lambda_{1})^{2} [/mm] - 2* [mm] \bruch{ \lambda_{1}}{tan(x)} [/mm] - 1 und unten drunter lauter Nullen?
Und in der zweiten Spalte in der ersten Zeile eine 0 und dann in der zweiten Zeile [mm] (\lambda_{1})^{2} [/mm] - 2 * [mm] \lambda_{1} [/mm] * tan(x) - 1 und dann unten drunter wieder lauter Nullen und dies analog für alle weiteren Spalten mit den anderen [mm] \lambda [/mm] . Ist das so richtig?
Und ich möchte mich schonmal für die Antwort von eben bedanken.
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> Also hab ich in der ersten Spalte [mm](\lambda_{1})^{2}[/mm] - 2*
> [mm]\bruch{ \lambda_{1}}{tan(x)}[/mm] - 1 und unten drunter lauter
> Nullen?
Hallo,
ein x hat in den Spalten der Darstellungsmatrix nichts zu suchen.
Ich habe eben mal auf die Schnelle [mm] f(x)=e^{\lambda x}sin(x) [/mm] zweimal abgeleitet (überprüfen!) und bekomme
[mm] f'(x)=\lambda*e^{\lambda x}sin(x)+e^{\lambda x}cos(x)
[/mm]
f''(x)= [mm] \lambda^2e^{\lambda x}sin(x)+\lambda*e^{\lambda x}cos(x)+\lambda e^{\lambda x}cos(x)-e^{\lambda x}sin(x)
[/mm]
[mm] =(\lambda^2-1)e^{\lambda x}sin(x) [/mm] + [mm] 2\lambda e^{\lambda x}cos(x)
[/mm]
Also wäre der Koordinatenvektor von [mm] \phi(e^{\lambda_1 x}sin(x)) [/mm] bzgl der gegebenen Basis der Vektor [mm] \vektor{\lambda_1^2-1\\2\lambda_1 \\0\\\vdots\\0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ah ok, klar. Bei der 2. Ableitung bekomme ich [mm] e^{\lambda * x} [/mm] * sin (x) * ( [mm] \lambda^{2} [/mm] - 1 ) + [mm] e^{\lambda * x} [/mm] * cos (x) * 2 * [mm] \lambda [/mm] , nur hab ich dann mit Polynomdivision durch die Basis weitergemacht, aber das war falsch wie ich nun sehe. Wenn ich jetzt weiter überlege bekomme ich kleine 2 x 2 Matrizen, bekomm ich die Determinante der ganzen Matrix durch Addition der Determinanten der kleinen Matrizen mit den Eigenwerten?
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> Ah ok, klar. Bei der 2. Ableitung bekomme ich [mm]e^{\lambda * x}[/mm]
> * sin (x) * ( [mm]\lambda^{2}[/mm] - 1 ) + [mm]e^{\lambda * x}[/mm] * cos (x)
> * 2 * [mm]\lambda[/mm] , nur hab ich dann mit Polynomdivision durch
> die Basis weitergemacht, aber das war falsch wie ich nun
> sehe. Wenn ich jetzt weiter überlege bekomme ich kleine 2
> x 2 Matrizen, bekomm ich die Determinante der ganzen Matrix
> durch Addition der Determinanten der kleinen Matrizen mit
> den Eigenwerten?
Hallo,
wenn A die Darstellungsmatrix ist, mußt Du nun die Determinante von [mm] A-\lambda [/mm] E berechnen.
Das ist das [mm] [b]Produkt[\b] [/mm] der Determinanten der kleinen Matrizen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:29 Mo 31.01.2011 | | Autor: | JenniferS |
Ok, dann bedank ich mich herzlich. Ab nun dürfte alles klar sein, wenn noch was ist, frag ich einfach nochmal.
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Das [mm] \lambda [/mm] vor der Einheitsmatrix ist aber ein anderes als in den Basisvektoren oder?
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> Das [mm]\lambda[/mm] vor der Einheitsmatrix ist aber ein anderes als
> in den Basisvektoren oder?
Hallo,
oh ja! Nenn' es lieber x, dann kommst Du nicht so leicht durcheinander.
Gruß v. Angela
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