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| Aufgabe | Es sei A eine 6x4 Matrix über R.
Wahr oder falsch.
a) Hat A max. Rang, dann ist rgA=6.
b) Der Kern von A hat die Dim. 3, wenn A den Rang 1 hat. |
Hallo Leute,
ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.
Wenn ich es richtig verstehe, hat A (6 Zeilen) und (4 Spalten).
a) So müsste diese Aussage richtig sein (wegen 6 Zeilen), aber in den Lösungen steht, dass es falsch ist. Warum?
b) Die Matrix hat diese Abb.vorschrift:
f : [mm] \IR^{4} \to \IR^{6}
[/mm]
Somit weden wir die Dim.Formel an:
dimV = dimkernf + dimbildf
4 = 3 + 1
4 = 4
Wahre Aussage. Dies steht auch in den Lösungen, aber stimmt mein Weg?
Schonmal danke für die Antworten :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 So 26.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A eine 6x4 Matrix über R.
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> Wahr oder falsch.
> a) Hat A max. Rang, dann ist rgA=6.
> b) Der Kern von A hat die Dim. 3, wenn A den Rang 1 hat.
> Hallo Leute,
>
> ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.
>
> Wenn ich es richtig verstehe, hat A (6 Zeilen) und (4
> Spalten).
>
> a) So müsste diese Aussage richtig sein (wegen 6 Zeilen),
> aber in den Lösungen steht, dass es falsch ist. Warum?
Zeilenrang= Spaltenrang
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> b) Die Matrix hat diese Abb.vorschrift:
> f : [mm]\IR^{4} \to \IR^{6}[/mm]
>
> Somit weden wir die Dim.Formel an:
> dimV = dimkernf + dimbildf
> 4 = 3 + 1
> 4 = 4
> Wahre Aussage. Dies steht auch in den Lösungen, aber
> stimmt mein Weg?
Schreib es so:
dimkernf = dim V -dimbildf=4-1=3
FRED
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> Schonmal danke für die Antworten :)
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Ah ok stimmt. danke nochmal.
Eine Frage habe ich noch.
Bei lin Abb. muss da gilt ja,
f ( kv + w) = k f(v) + f(w) [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V , [mm] \forall \in [/mm] K
dann habe ich noch gelesen dass f(0) =0 gelten muss.
Stimmt das? und warum?
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> Ah ok stimmt. danke nochmal.
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> Eine Frage habe ich noch.
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> Bei lin Abb. muss da gilt ja,
>
> f ( kv + w) = k f(v) + f(w) [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V , [mm]\forall k \in[/mm]
> K
Stimmt.
> dann habe ich noch gelesen dass f(0) =0 gelten muss.
> Stimmt das? und warum?
Ja, das stimmt.
Das ist eine direkte Folgerung aus obiger Forderung:
Bezeichnen wir mal mit [mm] $0_K$ [/mm] die Null im Körper und mit [mm] $0_V$ [/mm] die Null im Vektorraum (den Nullvektor).
Dann gilt:
[mm] $0_K*0_V [/mm] = [mm] 0_V$
[/mm]
Also:
[mm] $f(0_V) [/mm] = [mm] f(0_K*0_V) [/mm] = [mm] 0_K*f(0_V) [/mm] = 0$
Alternativ kannst du es auch über die Summe machen:
$f(0)=f(0+0) = f(0)+f(0)$
ziehst du nun auf beiden Seiten einmal $f(0)$ ab so steht da $0=f(0)$ wie gewünscht.
lg
Schadow
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