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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Do 09.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich bin´s mal wieder.
Wir haben folgende Aufgabe:
Sei A = [mm] (a_{i,j}) \in Mat_{n}(K) [/mm] . Es gelte [mm] a_{i,1}+a_{i,2}+...+a_{i,n}=0 [/mm] für alle i=1,...,n. Zeige: Null ist Eigenwert von A.
Bin mir mit der Lösung nicht sicher, wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so stimmt oder nicht.
Also:
Wir wissen ja aus obigen Angaben, dass die Summe der Glieder in einer Zeile = 0 sind, d.h.
[mm] a_{11}+...+a_{1n}=0 [/mm] (1.Zeile)
....
[mm] a_{n1}+...+a_{nn} [/mm] (n.Zeile)
Jetzt kann ich ja alle Zeilen mal x [mm] \not=0 [/mm] machen:
[mm] x(a_{11}+...+a_{1n})=0
[/mm]
...
[mm] x(a_{n1}+...+a_{nn}) [/mm] =0
Ausmultiplizieren:
[mm] a_{11}x+...+a_{1n}x=0
[/mm]
...
[mm] a_{n1}x+...+a_{nn}x=0
[/mm]
Dies kann man dann in folgender Form darstellen:
[mm] \pmat{ a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} } \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}= \vektor{0 \\ ... \\ 0}
[/mm]
wobei [mm] x_{1}=x_{2}=...=x_{n}
[/mm]
Da der Eigenvektor nicht Null sein darf muss Eigenwert Null sein.
Kann man das so machen?
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Hexe |
Also das kannst du wunderbar so machen mit einer Ausnahme. Schreib nicht das der Eigenvektor nicht null sein darf, das ist keine Begründung und ausserdem glaub ich gar nicht das es stimmt.
Wenn du deine letzte Gleichung dastehen hast schreib ein [mm] =\vec{x}*0 [/mm] dahinter und du hast bewiesen das Null Eigenwert ist weil die Gleichung für beliebige [mm] x\in\IR/\{0\} [/mm] stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nette!
> Dies kann man dann in folgender Form darstellen:
> [mm]\pmat{ a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} } \vektor{x_{1} \\ ... \\ x_{n}}= \vektor{0 \\ ... \\ 0}
[/mm]
>
> wobei [mm]x_{1}=x_{2}=...=x_{n}
[/mm]
>
> Da der Eigenvektor nicht Null sein darf muss Eigenwert Null
> sein.
Die Begründung stimmt [mm] ($\vec{0}$ [/mm] ist per def. kein Eigenvektor), nur würde ich sie noch etwas deutlicher aufschreiben.
Und zwar gilt mit deinen Überlegungen ja für jeden Vektor [mm] $\vec{x}=\vektor{x\\\vdots\\x}$ [/mm] (mit [mm] $x\not=0$)
[/mm]
[mm] $A*\vec{x}=0*\vec{x}$
[/mm]
Also muss 0 ein Eigenwert sein.
Noch deutlicher geht es mit einem konkreten Beispiel, z.B. $x=1$.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
 ) (*Freu*)
Danke euch beiden.
Gruß
Annette
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