Matrix, Maschinenvollauslastun < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 06.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | Ein Unternehmen fertigt mittels dreier Maschinen M1,M2 und M3 drei Produkte P1,P2 und P3. Die nötigen Produktionszeiten (in Stunden pro Pro dukteinheit) der Produkte auf den einzelnen Maschinen sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.
[mm] \pmat{ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 5\\ 6 & 7 & 5 }
[/mm]
Spalte = Maschine
Zeile = Produkt
Gibt es ein Pro duktionsprogramm, welches die Kapazität aller drei Anlagen von je 400 Stunden voll
auslastet? Wenn ja, dann geb en Sie ein solches (sinnvolles) Programm, d.h. zu fertigende Mengen der einzelnen Produkte, an. Die Reihenfolge in der die Produkte auf den einzelnen Maschinen verweilen ist dabei unerheblich |
Hallo 
Da mir bei meinen anderen Probleme schon sehr gut geholfen wurde, hoffe ich hier ein weiteres mal Hilfe zu bekommen.
Mir fehlt ein Ansatzpunkt. P1*X + P2*Y + P3*Y = 400, ist ansich ja nicht schwer zu errechnen, da gibt es ja mehrere Möglichkeiten, aber wie bekomme ich es hin eine Kombination zu finden, sodass für alle Vektoren mit X Y und Z 400 am ende rausbekommt? Mir liegen 8 Lösungen vor, aber ich weiß nicht wie man die rausbekommt.
Würde mich über Hilfe freuen
|
|
| |
|
Hallo,
grundsätzlich könntest du das mit dem Ansatz
A*x=y
versuchen, wobei A deine Bedarfsmatrix, x und y Spaltenvektoren mit x: Fertigungsprogramm, y: Auslastung der Maschinen sind.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 06.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Diophant,
wenn ich :
> A*x=y
mache und mit dem Gauß Algo. die Stufenform erreiche, bekomme ich in der letzten Zeile eine Nullzeile wobei im Lösungsvektor eine Zahl steht, somit kein Ergebnis?
[mm] \pmat{ 2 & 3 & 1 | 400\\ 0 & -2,5 & 2,5 | 200\\ 0 & 0 & 0 | -960 }
[/mm]
Vielleicht kannst du mir meinen Denkfehler aufzeigen :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> wenn ich :
>
>
> > A*x=y
>
> mache und mit dem Gauß Algo. die Stufenform erreiche,
> bekomme ich in der letzten Zeile eine Nullzeile wobei im
> Lösungsvektor eine Zahl steht, somit kein Ergebnis?
>
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & 1 | 400\\ 0 & -2,5 & 2,5 | 200\\ 0 & 0 & 0 | -960 }[/mm]
>
> Vielleicht kannst du mir meinen Denkfehler aufzeigen :)
Leider sieht man niocht, wie du angesetzt hast. Auch wenn es mühsam ist: bei solchen Fragen ist es unheimlich wichtig, dass wir die komplette Rechnung sehen!
Wenn ich mit
[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 2&3&1&400\\ 3&1&5&400\\ 6&7&5&400 \end{array} \right)
[/mm]
ansetze, dann sieht die vorläufig letzte Version so aus:
[mm] \left( \begin{array}{ccc|c} 2&3&1&400\\ 0&7&-7&400\\ 0&2&-2&800 \end{array} \right)
[/mm]
Ich bekomme also das gleiche 'Problem' wie du. Und wenn wir beide richtig gerechnet haben, dann kann das nur eines bedeuten: es gibt kein solches Fertigungsprogramm. Eine übrigens in der Realität äußerst relevante Problematik!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mo 07.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Also wir bekommen "keine Lösung " raus, aber eine mögliche Lösung wäre P1 = 5 P2 = 28 und P3 = 51
Mit diesen Zahlen kommen alle Maschinen auf 400 Stunden..
Das ist mir ein Rätsel, wie ich auf diese Antwort komme
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Also wir bekommen "keine Lösung " raus, aber eine
> mögliche Lösung wäre P1 = 5 P2 = 28 und P3 = 51
>
> Mit diesen Zahlen kommen alle Maschinen auf 400 Stunden..
Wie kommst du auf diese Zahlen, könntest du das mal vorrechnen?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Mo 07.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Das sind Lösungen die ich mitbekommen habe zu der Aufgabe, aber leider ohne Rechnung :/
Gesagt wird, es gibt 8 (sinnvolle) Lösungen für die Aufgabe
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also wir bekommen "keine Lösung " raus, aber eine
> mögliche Lösung wäre P1 = 5 P2 = 28 und P3 = 51
>
> Mit diesen Zahlen kommen alle Maschinen auf 400 Stunden..
>
> Das ist mir ein Rätsel, wie ich auf diese Antwort komme
Ja, ich habe jetzt nochmal ein wenig über die Aufgabe nachgedacht und muss da einen Fehler auf meine Kappe nehmen. Du hattest ja extra geschrieben, dass die Spalten für die Maschinen und die Zeilen für die Produkte stehen, das habe ich aber irgendwie verdreht. Der richtige Ansatz lautet daher (mit deiner Matrix A):
[mm] (P_1,P_2,P_3)*A=(400,400,400)
[/mm]
Das musst du per LGS lösen, da A ja (wie wir bereits wissen) nicht den vollen Rang hat und damit nicht invertierbar ist.
Entschuldige bitte nochmals meinen Fehler. Man muss bei diesen Aufgaben immer dreimal hinsehen, mit welcher Bedeutung die Zeilen und die Spalten einer solchen Matrix belegt sind.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 07.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Hallo Diophant,
mir ist jetzt nicht ganz klar wie meine Rechnung aussehen muss :s.
Dafür brauchst du dich nicht entschuldigen, jeder macht mal Fehler, freue mich ja, das überhaupt jemand hilft
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> mir ist jetzt nicht ganz klar wie meine Rechnung aussehen
> muss :s.
Es geht ganz einfach um eine Matrizenmultiplikation. Das Produkt einer 1x3 mit einer 3x3-Matrix ist naturgemäß wieder eine 1x3-Matrix.
Dir ist klar, wie man Matrizen multipliziert?
Mache das, und vergleiche die Einträge des Produkts jeweils mit den 400, das ergibt ein LGS, welches aus bereits genannten Gründen unendlich viele Lösungen besitzt, von denen offensichtlich acht sionnvoll sind (es sind nur solche Lösungen sinnvoll, bei denen die Tripel ganzzahlig und nichtnegativ sind).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Jengo32!
> mir ist jetzt nicht ganz klar wie meine Rechnung aussehen
> muss :s.
Soll das jetzt so interpretiert werden, dass du ein Gleichungssystem nur mit Gauß lösen kannst oder möchtest?
Das kannst du hier natürlich auch. Du musst nur die Matrix A transponieren, also Zeilen und Spalten vertauschen, dann kannst du anschreiben:
[mm]\begin{matrix}{2 & 3 & 6 & | & 400 \\ 3 & 1 & 7 &|&400\\1&5&5&|&400}\end{matrix} [/mm]
Wenn du das auf Stufenform bringst, sollte die letzten Zeile ausschließlich aus Nullen bestehen. Das bedeutet, dass wir unendlich viele Lösungen haben. Du kannst also etwa die Stückzahl [mm] P_3 [/mm] beliebig wählen und dir daraus wie üblich die beiden anderen Stückzahlen errechnen.
Du solltest folgende Ausdrücke für [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] erhalten:
[mm] $P_1=\frac{5*(160-3t)}{7}$
[/mm]
und
[mm] $P_2=\frac{4*(100-t)}{7}$
[/mm]
Wie Diophant schon anmerkte kommen nur jene Lösung in Betracht, für die gilt
[mm]P_i\in\IZ\ \wedge\ P_i\ge0\quad\forall\;i\in\{1, 2, 3\}[/mm].
Aus [mm] $P_1\ge0$ [/mm] folgt [mm] $0\ge P_3\ge [/mm] 53$.
Jetzt kannst du entweder alle 54 Werte für [mm] P_3 [/mm] einsetzen und prüfen, ob die anderen beiden Stückzahlen ganzzahlig sind, oder du überlegst dir, dass nur jene Werte für [mm] P_3 [/mm] in Frage kommen, für die
[mm] $P_3\equiv2\ [/mm] (mod \ 7)$
gilt.
Es gibt jedenfalls tatsächlich acht passende Lösungstripel.
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 07.07.2014 | | Autor: | jengo32 |
Du musst nur die Matrix
> A transponieren, also Zeilen und Spalten vertauschen, dann
> kannst du anschreiben:
>
> [mm]\begin{matrix}{2 & 3 & 6 & | & 400 \\ 3 & 1 & 7 &|&400\\1&5&5&|&400}\end{matrix}[/mm]
>
> Wenn du das auf Stufenform bringst, sollte die letzten
> Zeile ausschließlich aus Nullen bestehen. Das bedeutet,
> dass wir unendlich viele Lösungen haben. Du kannst also
> etwa die Stückzahl [mm]P_3[/mm] beliebig wählen und dir daraus wie
> üblich die beiden anderen Stückzahlen errechnen.
Das hatte ich sogar gemacht, bevor ich mein Problem hier geschildert habe. Ich bekam auch auch eine Nullzeile raus, habe mich dann aber wie ich gerade sehe in den weiteren Schritten verrechnet...
> Aus [mm]P_1\ge0[/mm] folgt [mm]0\ge P_3\ge 53[/mm].
Kannst du mir den Ausdruck weiter erläutern? Wie komme ich darauf?
> Jetzt kannst du entweder alle 54 Werte für [mm]P_3[/mm] einsetzen
> und prüfen, ob die anderen beiden Stückzahlen ganzzahlig
> sind, oder du überlegst dir, dass nur jene Werte für [mm]P_3[/mm]
> in Frage kommen, für die
>
> [mm]P_3\equiv2\ (mod \ 7)[/mm]
> gilt.
Und auch hier noch einmal eine weitere Erklärung bitte Was Modulo ist, ist mir bewusst ( ganzzahliges teilen). Aber wie komme ich auf 2 mod. 7 ? Den Gedankengang würde ich gerne noch nachvollziehen
Danke euch beiden für die super Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Du musst nur die Matrix
> > Aus [mm]P_1\ge0[/mm] folgt [mm]0\ge P_3\ge 53[/mm].
> Kannst du mir den
> Ausdruck weiter erläutern? Wie komme ich darauf?
Nun, ich hatte dir weiter oben ja auch den Ausdruck für [mm] P_1 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] P_3 [/mm] angegeben. Löse einfach damit die Ungleichung [mm] $P_1\le0$ [/mm] nach [mm] P_3 [/mm] auf.
Ich hatte die Ganzzahligkeit von [mm] P_3 [/mm] dabei implizit vorausgesetzt - formal korrekter hätte ich schreiben müssen
Aus [mm]P_1\ge0[/mm] und [mm] $P_3\in\IZ$ [/mm] folgt [mm]0\ge P_3\ge 53[/mm].
> > Jetzt kannst du entweder alle 54 Werte für [mm]P_3[/mm] einsetzen
> > und prüfen, ob die anderen beiden Stückzahlen ganzzahlig
> > sind, oder du überlegst dir, dass nur jene Werte für [mm]P_3[/mm]
> > in Frage kommen, für die
> >
> > [mm]P_3\equiv2\ (mod \ 7)[/mm]
> > gilt.
>
> Und auch hier noch einmal eine weitere Erklärung bitte
> Was Modulo ist, ist mir bewusst ( ganzzahliges teilen).
> Aber wie komme ich auf 2 mod. 7 ? Den Gedankengang würde
> ich gerne noch nachvollziehen
Du hast ja gesehen, dass sich für [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] Brüche eingestellt haben, deren Nenner Sieben ist. Wenn das ein ganzzahliger Wert werden soll, dann muss jeder beiden Zähler kongruent Null Modulo Sieben sein. Diese beiden Gleichungen musst du eben, falls bekannt, nach den Regeln der Restklassenrechnung nach [mm] P_3 [/mm] auflösen. Eine von beiden ist besonders sympathisch 
Gruß RMix
|
|
|
|
