Matrix angeben < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Di 01.07.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Berechnen Sie für das angegebene Polynom f [mm] \in \mathbb [/mm] Q[X] und die Matrix M [mm] \in \mathbb Q^{2 \times 2} [/mm] die Matrix f(M).
f = X [mm] \cdot (X-2)^2 [/mm] und M = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 5 } [/mm] |
Hallo!
Ich weiß irgendwie gar nicht was die in dieser Aufgabe von mir wollen. Was ist denn die Abbildung von der Matrix? Könnt ihr mich bitte kurz aufklären, was die Aufgabe bedeutet?
(Bin mir daher mit dem Unterforum auch nicht so sicher :( )
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Du sollst einfach
M(M-2E)²
berechnen (E = Einheitsmatrix).
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 01.07.2008 | | Autor: | Wimme |
Ahja, danke, du hast recht. Er hats auch grad nochmal in der Vorlesung gesagt, wie er die Aufgabe meinte.
Ich habe da jetzt aber noch eine Frage zu:
M = [mm] \pmat{ 2 & 17 \\ 0 & -1 }
[/mm]
f = X^10 - X
gibts da nen Trick? Ist doch ziemlich doof die Matrix 10x mit sich selbst zu multiplizieren. Kann ich das irgendwie mit Diagonalmatrizen angehen?
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> Ahja, danke, du hast recht. Er hats auch grad nochmal in
> der Vorlesung gesagt, wie er die Aufgabe meinte.
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> Ich habe da jetzt aber noch eine Frage zu:
> M = [mm]\pmat{ 2 & 17 \\ 0 & -1 }[/mm]
> f = X^10 - X
>
> gibts da nen Trick? Ist doch ziemlich doof die Matrix 10x
> mit sich selbst zu multiplizieren. Kann ich das irgendwie
> mit Diagonalmatrizen angehen?
>
Hallo,
ja, das solltest Du tun.
Die Matrix hat zwei verschiedene Eigenwerte, ist also diagonalisierbar,
M als [mm] M=T^{-1}\pmat{ 2 & 0\\ 0 & -1 }T.
[/mm]
Dann ist [mm] M^{10} [/mm] nicht sehr mühsam.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 01.07.2008 | | Autor: | Wimme |
okay, ich verstehe, dass sie diagonalisierbar ist, aber wie man jetzt die Diagonalmatrix und die T ausrechnet, weiß ich noch nicht.
Wie zB kommst du auf das zwischen den T und was muss ich für die T machen?
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> okay, ich verstehe, dass sie diagonalisierbar ist, aber wie
> man jetzt die Diagonalmatrix und die T ausrechnet, weiß ich
> noch nicht.
> Wie zB kommst du auf das zwischen den T und was muss ich
> für die T machen?
Hallo,
oh, oh, ich fürchte, Du hast die LA ein wenig schleifen lassen...
Diagonalisierbarkeit heißt ja, daß es eine Basis gibt, bzgl derer die Matrix der Abbildung zu M eine Diagonalmatrix ist. Dies Basis besteht aus Eigenvektoren der Abbildung..
Steck jetzt mal zu jedem der beiden Eigenwerte einen Eigenvektor als Spalte in eine Matrix T. Berechne auch [mm] T^{-1}, [/mm] und überzeuge Dich dann davon, daß [mm] T^{-1}MT [/mm] eine Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist.
Dann ist [mm] M=TDT^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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