Matrix der Abbildung bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $Phi_{1}: \IR^{3} \to \IR^{3}$ [/mm] die lineare Abbildung, die einer Spiegelung an der Ebene [mm] $x_{1}$ [/mm] − [mm] $x_{2}=0$
[/mm]
entspricht. Es sei [mm] $Phi_{2}: \IR^{3} \to \IR^{3}$ [/mm] die lineare Abbildung die einer Drehung um $30°$ um die Achse mit dem Richtungsvektor [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] entspricht.
Geben Sie die Matrix der Abbildung [mm] $Phi_{1}$ [/mm] und [mm] $Phi_{2}$ [/mm] an. Das heißt, bestimmen Sie die Matrizen A und B, sodass gilt:
[mm] $Phi_{1}(\vec{x}) [/mm] = [mm] A\vec{x}$,
[/mm]
[mm] $Phi_{2}(\vec{x}) [/mm] = [mm] B\vec{x}$ [/mm] |
Hallo, ich brauche mal wieder eure kompetente Hilfe.
Wie gehe ich diese Aufgabenstellung an?
Zu [mm] $Phi_{1}$ [/mm] hab ich mir gedacht, da es sich ja um eine Spiegelung an der [mm] x_{1}x_{2} [/mm] Ebene handelt nehme ich einfach die normale Spiegelungsmatrix mit Winkel = 0° her.
Also: $A= [mm] \pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -cos(\alpha) }$
[/mm]
Matrix A mit eingesetztem [mm] \alpha [/mm] = 0°: $A= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$ [/mm]
Zu [mm] $Phi_{2}$ [/mm] hab ich mir gedacht, dass der gegebene Richtungsvektor eigentlich gleich der [mm] x_{1} [/mm] Achse ist.
Und die Matrix folgendermaßen aussehen müsste:
$B= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(30°) & -sin(30°) \\ 0 & sin(30°) & cos(30°) }$
[/mm]
Stimmt das so? Oder übersehe ich etwas?
mfg,
dreamweaver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in A suchst du doch ne 3 mal 3 Matrix, du bist im [mm] \IR^3! [/mm] und deine matrix spiegelt sicher nicht an der x1,x2 Ebene
es bleiben dich die z basisvektoren in x1 und x2 Richtung erhalten, der dritte wird zum negativen.
2 ist richtig
gruss leduart
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Was bedeutet eigentlich [mm] $x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] = 0 $ Ebene?
Dieses Minus macht mir zu schaffen.
Ist das als [mm] x_{1},x_{2} [/mm] Ebene oder eher als [mm] $x_{2} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] $ Ebene aufzufassen?
Wie würde die letztere Variante aussehen?
Wäre es als [mm] x_{1},x_{2} [/mm] Ebene aufzufassen, dann stell ich mir diese so vor, wie sie in diesem Bild als [mm] E_{12} [/mm] eingezeichnet ist:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Koordinatenebenen.png
Wie kann ich eine Matrix aufstellen, in der die [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] Richtungen erhalten bleiben und die $z$ Richtung negativ wird?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast Recht, und ich ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]") hab nicht genau gelesen!
natürlich ist die Ebene x1=x2 und nicht die x1-x2 Ebene gemeint. Aber auch hier sieht man leicht in was sie drei Basisvektoren übergehen, und die Bilder der Basisvektoren sind ja die spalten der Abb. matrix
Gruss leduart
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Wenn ich mich nicht täusche, sollte die Matrix dann so aussehen:
[mm] $A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }$
[/mm]
Stimmts so?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du an der Winkelhalbierenden Ebene x1=x2 spiegelst liegt doch [mm] (0,0,1)^T [/mm] in der ebene, bleibt alsowas wird aus (1,0,0) und [mm] (0,1,0)^T [/mm] kannst du in der x1x2 Ebene sehen!
deine matrix ist falsch , da aus [mm] (1,0,0)^T [/mm] wieder [mm] (1,0,0)^T [/mm] wird
bitte schreib immer dazu, für was das die lösg sein soll, hier gibts ja mehrere helfer, die nicht immer alles zurückliegende lesen wollen.
Gruss leduart
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Die Matrix für die Spiegelung an der x1 = x2 Ebene, sollte dann doch
[mm] $A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$ [/mm]
sein.
Die Ebene ist also die Diagonale zwischen x1 und x2. Gespiegelt wird dann, in die positive x1 Richtung und in die negative x2 Richtung, z bleibt gleich. Und da x1 = x2, sind auch beide Vektoren gleich oder?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 24.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
x1=x2 ist die Ebene an der gespiegelt wird! dann bleiben doch die Vektoren (1,0,0) und (0,1,0) nicht erhalten?
zeichne es wirklich mal in der x1-x2 ebene auf, da ist das die Geradenspiegelung an x1=x2
ach so, deine matrix ist falsch, ausser der letzten Spalte.
Gruss leduart
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