Matrix diagonalisierbar.... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Diddl |
Ehhmmm hier noch eine Frage
Zeigen Sie, dass A:= [mm] \begin{pmatrix} 14 & -8 & -4 \\ 18 & -10 & -6 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} [/mm] diagonalisierbar ist. hier von habe ich die determinante für [mm] \begin{pmatrix}14-x & -8 & -4 \\ 18 & -10-x & -6 \\ -3& 2& 3-x \end{pmatrix} [/mm] berechnet und nach der ersten zeile entwickelt.
bekomme da irgenwie als charakteristisches polynom[(14-x) (-10-x)*(3-x)+12]+[144*(8*(3-x)-18]+[(-4)*(36+10-x*(-3)]
so jetzt komme ich nicht mehr weiter mit dieser gleichung.ich muss es irgendwie kürzer fassen,halt faktorisieren,aber weiss hier nicht wie ich hier zu multiplizieren hab.kann mir da jemnad dringend helfen??
habe die sarrus regel angewendet und bekam do sowas raus:
[(14-x) (-10-x)) (3-x)- 144 - 144]-[(12*(-10-x)) + ( -12*(14-x))+(-144*(3-x)]=-x³+7x²-320x+612
meine fragen:1)ist die Gleichung richtig?
2) wenn ja wie fasse ich das noch kürzer auf?, so dass ich meine eigenwerte daraus lesen kann?
kann mir da jemand weiter helfen
|
|
| |
|
Ich hab' das ganze mal in Octave eingegeben und folgenden Eigenwerte erhalten:
2,2,3
Als Koeffizienten für das charakteristische Polynom liefert Octave
1, -7, 16 und 12
Das wäre also
[mm] chi_A [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] + 16x + 12
Das Programm ist für Kontrollen gar nicht schlecht. Ich kenne allerdings keine anderen Computer Algebra Systeme.
Normalerweise rechnet man doch aber eigentlich [mm] chi_A [/mm] = det(x*I - A) und nicht [mm] chi_A [/mm] = det(A - x*I), oder?
Gruß
Jürgen
|
|
|
| |
|
Wenn Du die Matrix A diagonalisieren sollst, musst Du als erstes die Eigenwerte von A bestimmen. Das erfolgt wenn Du das Charakteristische Polynom bestimmst. Dann setzt Du die Eigenwerte (Nullstellen des Polynoms) in die Matrix ein und löst das Gleichungsystem. Dann erhälts Du deine Eigenvektoren. Dann schreibst Du eine neue Matrix P mit den Eigenvektoren als Spalten (Reihenfolge egal). Jetzt musst Du due Matrix P mit den Eigenvektoren invertieren. Wenn Du [mm] p^{-1} [/mm] bestimmt hast dann musst du rechnen A*P und dann [mm] p^{-1} [/mm] AP. Danach müsstest Du wenn Du
[mm] p^{-1} [/mm] AP berechnet hast eine Diagonalmatrix D rauskommen mit den Eigenwerten als Spalten. WICHTIG: Zuerst das Matrizenprodukt A mal P und dann von links die Matrix [mm] p^{-1} [/mm] dranrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 So 17.07.2005 | | Autor: | jbulling |
>WICHTIG: Zuerst das
> Matrizenprodukt A mal P und dann von links die Matrix
> [mm]p^{-1}[/mm] dranrechnen.
Wieso das denn?
Bei der Matrizenmultiplikation gilt doch das Assoziativgesetz. Zumindest gilt es dann, wenn die Matizen über einem kommutativen Ring aufgefasst werden.
|
|
|
|
