Matrix einer Drehung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Do 02.04.2009 | | Autor: | qaywertz |
| Aufgabe | (a) Wie lautet die Matrix einer Drehung im [mm] R^3 [/mm] um den Vektor (1, -1, 0) um den Winkel x?
(b) Wie lautet die Matrix einer Drehung in der Ebene um den Winkel x? |
Hallo!
In meinen Aufzeichnungen findet sich leider nicht viel eindeutiges zu diesem Thema, jedoch brauche ich dringend eine Antwort auf diese Fragen.
Wie die Drehmatrix in [mm] R^2 [/mm] aussieht (->(b)) weiß ich, nämlich (cos x, -sin x; sin x, cos x), jedoch weiß ich nicht wie man sich diese herleitet? Oder "ist das einfach so"?
Ich nehme an wenn ich dann (b) verstehe, dürfte der Weg zu Aufgaben wie (a) auch recht kurz sein, oder? Aber ich wüsste ja nichtmal wie ich den "Drehachsenvektor" einbauen könnte.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte! 
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> (a) Wie lautet die Matrix einer Drehung im [mm]R^3[/mm] um den
> Vektor (1, -1, 0) um den Winkel x?
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> (b) Wie lautet die Matrix einer Drehung in der Ebene um den
> Winkel x?
> Hallo!
> In meinen Aufzeichnungen findet sich leider nicht viel
> eindeutiges zu diesem Thema, jedoch brauche ich dringend
> eine Antwort auf diese Fragen.
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> Wie die Drehmatrix in [mm]R^2[/mm] aussieht (->(b)) weiß ich,
> nämlich (cos x, -sin x; sin x, cos x), jedoch weiß ich
> nicht wie man sich diese herleitet? Oder "ist das einfach
> so"?
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> Ich nehme an wenn ich dann (b) verstehe, dürfte der Weg zu
> Aufgaben wie (a) auch recht kurz sein, oder? Aber ich
> wüsste ja nichtmal wie ich den "Drehachsenvektor" einbauen
> könnte.
>
> Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
Hallo,
wenn Du weißt, wie darstellende Matrizen entstehen, bist u schon einen großen Schritt weiter:
in den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren.
zu b)
Du kannst Dir das ja sogar aufzeichnen, Koordinatensystem mit den beiden Standardvektoren.
Dreh sie nun beide um den Winkel x und lies ab, auf welchen Vektor sie jeweils abgebildet werden. Diese Vektoren kommen in die Spalten der Matrix.
zu a)
Hier suchst Du im Grund ebenfalls die Bilder der drei Standardbasisvektoren, bloß ist das bei Drehung um [mm] \vektor{1\\-1\\0} [/mm] nicht so gemütlich wie bei Drehung um die Koordinatenachsen.
Du kannst das so machen: wähle zunächst eine Basis B, die dem Problem besser angemessen ist als die Standardbasis.
Hier wäre das die Basis, die aus dem Drehachsenvektor und zwei dazu senkrechten (Drehebene) besteht.
Stelle die darstellende Matrix bzgl dieser Basis auf, das geht ja weitgehend so wie in der Ebene, insbesondere, wenn Du Einheitsvektoren verwendest.
Wenn Du die Matrix bzgl. B hast, machst Du zum Schluß noch eine kleine Basistransformation, so daß Du am Ende die darstellende matrix bzgl. der Standardbasis hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 02.04.2009 | | Autor: | qaywertz |
Hallo und Danke schonmal für deine Hilfe
> Du kannst Dir das ja sogar aufzeichnen, Koordinatensystem
> mit den beiden Standardvektoren.
> Dreh sie nun beide um den Winkel x und lies ab, auf
> welchen Vektor sie jeweils abgebildet werden. Diese
> Vektoren kommen in die Spalten der Matrix.
Da ist schon mein Problem: Wie drehe ich Vektoren? Ich kann mir zwar im [mm] R^2 [/mm] vorstellen dass ich da einfach den Nullpunkt festlasse und dann "irgendwie drehe", aber wie ich den resultierenden Vektor ausrechnen kann, weiß ich nicht.
Und wie das ganze dann im [mm] R^3 [/mm] o.ä. aussehen soll, weiß ich erst recht nicht, da gibts könnte ich ja in alle möglichen Richtungen drehen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Do 02.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst im [mm] R^3 [/mm] immer die Drehachse zuerst angeben.
Nimm mal irgendeine der Standardachsen, also dreh etwa um (1,0,0) die marix besteht dann aus den Bildern der 3 basisvektoren.
Um einen beliebigen vektor dreht man am einfachsten, indem man ihn auf eine Achse dreht [mm] (180^o [/mm] Drehung um die winkelhalbierende, dann die Drehung um die Achse, dann zurueckdrehen.
das ist viel einfacher, als sich die Bilder der basisvektoren jedesmal zu ueberlegen.
Gruss leduart
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> (a) Wie lautet die Matrix einer Drehung im [mm]R^3[/mm] um den
> Vektor (1, -1, 0) um den Winkel x [mm] \varphi?
[/mm]
Ich nenne den Drehwinkel lieber [mm] \varphi [/mm] !!
> (b) Wie lautet die Matrix einer Drehung in der Ebene um den
> Winkel x [mm] \alpha?
[/mm]
> Wie die Drehmatrix in [mm]R^2[/mm] aussieht (->(b)) weiß ich,
> nämlich (cos [mm] \alpha, [/mm] -sin [mm] \alpha; [/mm] sin [mm] \alpha, [/mm] cos [mm] \alpha), [/mm] jedoch weiß ich
> nicht wie man sich diese herleitet? Oder "ist das einfach
> so"?
>
> Ich nehme an wenn ich dann (b) verstehe, dürfte der Weg zu
> Aufgaben wie (a) auch recht kurz sein, oder? Aber ich
> wüsste ja nichtmal wie ich den "Drehachsenvektor" einbauen
> könnte.
Hallo qaywertz (praktisches Kürzel übrigens ...)
Also zuerst die Drehung [mm] D_z(\alpha) [/mm] um die z-Achse
mit Drehwinkel [mm] \alpha. [/mm] Die Drehrichtung ist so defi-
niert, dass die Drehung [mm] D_z(\bruch{\pi}{2}) [/mm] den ersten
Grundvektor [mm] \vec{e}_x [/mm] auf den zweiten, also [mm] \vec{e}_y [/mm] abbildet.
Mit einer Figur und elementarer Trigonometrie
sieht man:
$\ [mm] D_z(\alpha)*\vektor{1\\0\\0}=\vektor{cos \alpha\\sin\alpha\\0}$
[/mm]
$\ [mm] D_z(\alpha)*\vektor{1\\0\\0}=\vektor{-sin\alpha\\cos\alpha\\0}$
[/mm]
$\ [mm] D_z(\alpha)*\vektor{0\\0\\1}=\vektor{0\\0\\1}$
[/mm]
Diese Spaltenvektoren ergeben zusammengefasst die
Drehmatrix:
[mm] D_z(\alpha)=\vektor{cos \alpha&-sin\alpha&0\\sin\alpha&cos\alpha&0\\0&0&1}
[/mm]
Analog erhält man die Drehmatrix für die Drehung [mm] D_x(\beta). [/mm]
Dabei soll [mm] D_x(\bruch{\pi}{2})*\vec{e}_y=\vec{e}_z [/mm] sein, damit die Orientierung des
Koordinatensystems der üblichen Regel (Rechtssystem)
entspricht. Stell dir diese Matrix analog auf !
Wenn nun eine Drehung um die Achse gesucht ist, die
durch den Vektor [mm] \vec{a}=\vektor{1\\-1\\0} [/mm] und den Drehwinkel [mm] \varphi [/mm] definiert
ist, kann man nun drei Drehungen aneinanderfügen:
1.) Drehung [mm] D_1, [/mm] welche den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] auf die positive
x-Achse befördert
2.) Drehung [mm] D_2=D_x(\varphi)
[/mm]
3.) Drehung [mm] D_3 [/mm] , welche die erste Drehung wieder
rückgängig macht, also [mm] D_3=D_1^{-1}
[/mm]
Natürlich ist für das vorliegende Beispiel
[mm] D_1=D_z(\bruch{\pi}{4}) [/mm] und [mm] D_3=D_z(\bruch{-\,\pi}{4})
[/mm]
Zum Schluss multiplizierst du die drei Drehmatrizen und
erhältst:
$\ [mm] D_{\vec{a}}(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] D_3*D_2*D_1\ [/mm] =\ [mm] D_z(\bruch{-\,\pi}{4})*D_x(\varphi)*D_z(\bruch{\pi}{4})$
[/mm]
Dabei solltest du natürlich noch verwenden, dass
$\ [mm] sin(\bruch{\pi}{4})=cos(\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
Alles in allem schon einiger Aufwand - aber das sollte
uns das Verständnis der Dinge allemal wert sein.
LG Al-Chwarizmi
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