Matrix einer linearen Abbild. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mo 10.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung A: R4 -->R3 sei gegeben durch
A [mm] \vektor{v1 \\ v2 \\ v3 \\ v4}= \vektor{ v1 - v4 \\ v1 +v2 +v3 - v4 \\ v2 - v1}
[/mm]
Ermitteln Sie bezüglich der kanonischen Basis die Matrix M zu A. |
Also die beiden kanonischen Basen sind doch B=( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] für den R4 und B=( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ) für den R3.
Ich habe eine Abbildung vom R4 --> R3.
Jetzt versuche ich mal, die Matrix aufzustellen:
A [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 1* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] - [mm] 1*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}. [/mm] Das war jetzt nur für die erste Zeile der linearen Abbildung. Aber das kann schon nicht stimmen. Ist ja immer noch im R4. Wo liegt mein Fehler? Ich weiß nicht mehr weiter?
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Hallo!
> Eine lineare Abbildung A: R4 -->R3 sei gegeben durch
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> A [mm]\vektor{v1 \\ v2 \\ v3 \\ v4}= \vektor{ v1 - v4 \\ v1 +v2 +v3 - v4 \\ v2 - v1}[/mm]
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> Ermitteln Sie bezüglich der kanonischen Basis die Matrix M
> zu A.
> Also die beiden kanonischen Basen sind doch B=( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> für den R4 und B=( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> ) für den R3.
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> Ich habe eine Abbildung vom R4 --> R3.
> Jetzt versuche ich mal, die Matrix aufzustellen:
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> A [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] = 1* [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> - [mm]1*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
> Das war jetzt nur für die erste Zeile der linearen
> Abbildung. Aber das kann schon nicht stimmen. Ist ja immer
> noch im R4. Wo liegt mein Fehler? Ich weiß nicht mehr
> weiter?
Du hast ganz einfach die Abbildung falsch angewandt. [mm] v_i [/mm] sind nicht deine Basisvektoren, sondern die Einträge in einem Vektor. Möchtest du den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] abbilden, so ist [mm] v_1=1, v_2=v_3=v_4=0. [/mm] Setzt du das dann in die Abbildung ein, so erhältst du: [mm] \vektor{1-0\\1+0+0-0\\0-1}=\vektor{1\\1\\-1} [/mm] und das ist im [mm] \IR^3. [/mm] 
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mo 10.07.2006 | | Autor: | RalU |
Ach so! Ich denke jetzt hab ichs verstanden. Also wenn ich das jetzt für jeden Vektor anwende, komme ich doch auf die Gesamtlösung
M= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Richtig?
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Das kannst du auch selber überprüfen, indem du die Matrix von links mit jedem Einheitsvektor noch einmal multiplizierst. Dann muss nämlich jeweils das Gleiche rauskommen, wie du vorher einzeln berechnet hast.
