Matrix eines Endomorphismus < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 11.12.2007 | | Autor: | freakish |
| Aufgabe | | [mm] B=(b_{1}, b_{2}, b_{3}) [/mm] Basis von [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] b_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, b_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] b_{3}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. [/mm] Berechne die Koordinatenmatrix des Endomorphismus [mm] A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 7 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix} [/mm] von [mm] \IR^3 [/mm] bzgl. B. |
Ich habe das Kapitel Matrizen in den letzten Tagen ordentlich durchgearbeitet und glaube nun, dass ich durchblicke. Wär super nett wenn mir hier jemand meinen Lösungsweg bestätigen oder mir Hilfe geben könnte.
Ich würde jetzt folgendermaßen vorgehen:
Die Bilder der Basis, also die Bilder von [mm] b_{1}, b_{2}, b_{3} [/mm] erstmal ausrechnen, indem ich die Vektoren mit der angegebenen Matrix multipliziere. Dann stelle ich die Bilder durch die Basisvektoren da, hab dann also da stehen:
[mm] f(b_{i})=x_{i}b_{1} [/mm] + [mm] y_{i}b_{2} [/mm] + [mm] z_{i}b_{3}.
[/mm]
Dann hat die gesuchte Matrix die Spalten [mm] x_{i}, y_{i} [/mm] und [mm] z_{i}.
[/mm]
Ist das so korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> [mm]B=(b_{1}, b_{2}, b_{3})[/mm] Basis von [mm]\IR^3[/mm] mit
> [mm]b_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, b_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]b_{3}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
> Berechne die Koordinatenmatrix des Endomorphismus
> [mm]A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 7 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}[/mm] von
> [mm]\IR^3[/mm] bzgl. B.
> Ich habe das Kapitel Matrizen in den letzten Tagen
> ordentlich durchgearbeitet und glaube nun, dass ich
> durchblicke. Wär super nett wenn mir hier jemand meinen
> Lösungsweg bestätigen oder mir Hilfe geben könnte.
> Ich würde jetzt folgendermaßen vorgehen:
> Die Bilder der Basis, also die Bilder von [mm]b_{1}, b_{2}, b_{3}[/mm]
> erstmal ausrechnen, indem ich die Vektoren mit der
> angegebenen Matrix multipliziere. Dann stelle ich die
> Bilder durch die Basisvektoren da, hab dann also da
> stehen:
> [mm]f(b_{i})=x_{i}b_{1}[/mm] + [mm]y_{i}b_{2}[/mm] + [mm]z_{i}b_{3}.[/mm]
> Dann hat die gesuchte Matrix die Spalten [mm]x_{i}, y_{i}[/mm] und
> [mm]z_{i}.[/mm]
> Ist das so korrekt?
Hallo,
falls Du meinst, daß die gesuchte Matrix so aussieht:
[mm] \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
z_1 & z_2 & z_3
\end{pmatrix},
[/mm]
dann hast Du recht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Mi 12.12.2007 | | Autor: | freakish |
Ja, das meinte ich. Falsch aufgeschrieben.
Ich bedanke mich!! Durch den Matheraum blick ich bei diesen Matrizen endlich mal durch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
Müsste es nicht (xi, yi, zi) in der Matrix heißen. Schließlich kommen doch 1 Spalte und 3 Zeilen je Einzelmatrix raus, die zu eienr Gesamtmatrix zusammengefügt werden müssen. Ich verstehs nicht.
Freak, ich glaube wir sind im gleichen Kurs. Morgen muss ich abgeben und die Aufgaben - ich steig nicht mehr durch :(
|
|
|
| |
|
Hallo Emmma,
das ist schon so richtig, was Angela geschrieben hat.Die Spalten der Koordinatenmatrix im Bezug auf die Basis B sind die Koordinatenvektoren der Bilder [mm] f(b_{1}), f(b_{2}), f(b_{3}), [/mm] der Basisvektoren [mm] b_{i} [/mm] unter f bezüglich der Basis B.
In unserem Fall erhalten wir [mm] f(b_{i}) [/mm] ja einfach durch multiplizieren der [mm] b_{i} [/mm] mit der angegebenen Matrix A. Dann kann ich das Bild [mm] f(b_{i}) [/mm] darstellen als Linearkombination der Basisvektoren, also als [mm] f(b_{i})=x_{i}b_{1}+y_{i}b_{2}+z_{i}b_{3}. [/mm] Dann ist der Koordinatenvektor zu [mm] f(b_{1}) (x_{1},y_{1},z_{1}). [/mm] Also ist das die erste Spalte. Analog folgen die beiden anderen Spalten aus den Bildern von [mm] b_{2} [/mm] und [mm] b_{3}.
[/mm]
Sollten wir wirklich im selben Kurs sein (NRW passt schon mal), arbeitest du sicherlich auch mit dem Lorenzbuch. Dort kannst du das nachschlagen unter der Definition 'Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung'.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
Also gut. Ich habe als erste Matrix raus (A* B1) 8;10;18 (1 Spalte und 3 Zeilen). Also schreib ich die nebeneinander in der Koordinationsmatrix? Ich versteh es nicht. Irgendwie versteh ich den ganzen Zettel nicht.
Studiere in Münster. LG Emma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Mi 12.12.2007 | | Autor: | freakish |
Hallo nochmal,
ich hab die Aufgabe noch nicht gerechnet, mir nur das Pinzip überlegt. Ich gehe einfach mal davon aus, dass deine Zahlen stimmen. Du hast also [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] mit der Matrix A multipliziert und den Vektor [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 18 \end{pmatrix} [/mm] erhalten. Jetzt musst du [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 18 \end{pmatrix} [/mm] als Linearkombination der drei Basisvektoren darstellen, also hast du dann stehen:
[mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 18 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. [/mm] Deine erste Spalte der gesuchten Matrix ist dann [mm] \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}. [/mm] Das gleiche machst du mit den beiden anderen Vektoren.
In Münster studier ich auch. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:42 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
Also multipliziere ich die 18 * dem Vektor und addiere das dann? Ich steh nun völlig neben mir :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:36 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
Ist es dann richtig, dass die erste Spalte der Endmatrix (48;30, - 18) - untereinander geschrieben - ist?
Ich verzweifle gerade total :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Fr 14.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
Hi Freak,
habe als Endmatrix zur Lösung 1 nun folgendes raus. Hoffe es ist richtig. hast du das auch?
- 8 4 - 26
34 26 - 32
34 48 - 53
Und nun die restlichen Aufgaben. Der Lorenz ist aber auch gemein. Belegst du auch Analysis?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mi 12.12.2007 | | Autor: | freakish |
Mach die Aufgabe erst heut Abend. Analysis beleg ich nicht. Ich geb dir mal meine email, wenn du Lust hast könnte man sich ja irgendwann mal zusammensetzen und Zettel bearbeiten oder so. Also, wenn du Lust hast: freakish2709@yahoo.com.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 12.12.2007 | | Autor: | JtR |
> Hallo nochmal,
> ich hab die Aufgabe noch nicht gerechnet, mir nur das
> Pinzip überlegt. Ich gehe einfach mal davon aus, dass deine
> Zahlen stimmen. Du hast also [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> mit der Matrix A multipliziert und den Vektor
> [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ 18 \end{pmatrix}[/mm] erhalten.
Hi,
Also irgendwie bin ich jetzt total verunsichert. Ich habe mich auch mit der Aufgabe beschäfftigt und scheitere schon am Anfang.
Wenn ich A mit der ersten Basis multipliziere bekomm ich schon was ganz anderes Raus:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 7 \\ 3 & 4 & -2 \\ 1 & 0 & 5}*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{2 -2 +21 \\ 3 +8 -6 \\ 1 +0 +15}=\vektor{ 21 \\ 5 \\ 16}
[/mm]
Oder mach ich irgendwas komplett falsch?
Wenn ich den Vektor dann als Linearkombination der Basen schreiben will wird das ganze schon recht abenteuerlich.
|
|
|
| |
|
> Wenn ich A mit der ersten Basis multipliziere bekomm ich
> schon was ganz anderes Raus:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du multiplizierst A nicht mit der ersten Basis, sondern mit dem ersten Basisvektor, und ich bekomme dabei dasselbe heraus wie Du.
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 7 \\ 3 & 4 & -2 \\ 1 & 0 & 5}*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}=\vektor{2 -2 +21 \\ 3 +8 -6 \\ 1 +0 +15}=\vektor{ 21 \\ 5 \\ 16}[/mm]
>
> Oder mach ich irgendwas komplett falsch?
> Wenn ich den Vektor dann als Linearkombination der Basen
> schreiben will wird das ganze schon recht abenteuerlich.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist mein Ergebnis ohne Bruch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> [mm]B=(b_{1}, b_{2}, b_{3})[/mm] Basis von [mm]\IR^3[/mm] mit
> [mm]b_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, b_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]b_{3}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
> Berechne die Koordinatenmatrix des Endomorphismus
> [mm]A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 7 \\
3 & 4 & -2 \\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}[/mm] von
> [mm]\IR^3[/mm] bzgl. B.
Hallo,
man kann die Aufgabe auch mithilfe der passenden Transformationsmatrizen lösen, ein Weg, der nur auf den ersten Blick anders ist, im Prinzip tut man haargenau dasselbe wie freakish, nur simultan.
A ist ja die Matrix, die, wenn man Vektoren in Darstellung bzgl der Standardbasis E eingibt, einem die Bilder dieser Vektoren in Koordinaten bzgl E ausgibt.
Gesucht ist nun die Matrix, die das entsprechende für B tut.
Man kann nun hinten an A die Transformationsmatrix, welche einem Vektoren in Darstellung bzgl B in solche bzgl. E umwandelt heranmultiplizieren, und vorne die Matrix, die Vektoren in Darstellung bzgl E in solche bzgl B umwandelt, also [mm] T^{-1}
[/mm]
Die Matrix T ist sehr leicht zu finden:
Man steckt einfach die Basisvektoren v. B in eine Matrix und erhält
[mm] T=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
2 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Invertieren ergibt [mm] T^{-1}, [/mm] und mit [mm] A_B_B:=\underbrace{T^{-1}}_{(von \ E\ nach\ B)/ }\underbrace{A}_{(von \ E\ nach\ E)\ }\underbrace{T}_{(von \ B\ nach\ E)}hat [/mm] man die darstellende Abbildung bzgl. B.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 12.12.2007 | | Autor: | daN-R-G |
Hi!
Ich sitze ebenfalls an dieser Aufgabe, und hatte die Frage auch schonmal in nem anderenForum gestellt, aber dort konnte mir leider nicht so richtig geholfen werden.
Ich habe die Aufgabe so gelöst gehabt, wie du es gerade vorgeschlagen hast, angela.h.b.. Doch leider bin ich mir jetzt nicht sicher, ob des auch wirklich so richtig ist. Einmal wurde mir gesagt, dass ich nen Formeldreher drin habe, was mich noch mehr verunsichert hat. Mein Weg sieht so aus:
Ich möchte die Koordinatenmatrix vom Endo A bzgl. der Basis B darstellen.
Dazu habe ich dann nen Satz aus nem Buch angewendet, der folgendes aussagt:
Koordinatenwechsel bei Endomorphismen
Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, B = [mm] (b_1, [/mm] ..., [mm] b_n) [/mm] und B' = V bezüglich der Basis B die Koordinatenmatrix A, so gehört f bezüglich der Basis B' die Koordinatenmatrix
A' = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
wobei S die Übergangsmatrix von B nach B' bezeichnet. [...]
Also bestimme ich zuerst S und [mm] S^{-1}
[/mm]
Da A die Koordinatenmatrix bezüglich der kanonischen Basis (kann ich das ist, so ist
S = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] die Übergangsmatrix von E nach B.
Nun habe ich das Inverse von S bestimmt, indem ich die Einheitsmatrix neben diese Matrix S geschrieben habe, und dann S zur Einheitsmatrix umgeformt habe, wobei dann meine rechts angefügte Einheitsmatrix nach sämlichen Umformung die inverse Matrix von S ist. Also habe ich raus:
[mm] S^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \\ 2 & 5 & -4 \end{pmatrix}
[/mm]
Als letztes habe ich nun das Produkt [mm] S^{-1}AS [/mm] gebildet, indem ich zuerst [mm] S^{-1}A [/mm] gerechnet habe, und das Ergebnis dann mit S nochmal multipliziert habe, und bekam nach meinen Umrechnungen herraus:
A' = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -5 & 5 \\ 13 & 22 & -17 \\ 3 & 14 & -12 \end{pmatrix}, [/mm] welches nun meine Koordinatenmatrix bzgl. der Basis B darstellen sollte. Genau an dieser Stelle gabs ungereimtheiten. In dem Buch habe ich halt diesen Satz gesehen, und woanders wurde mir angeraten, dass ich A' mit A' = [mm] SAS^{-1} [/mm] errechne. Was ist denn nun richtig?
|
|
|
| |
|
> Hi!
> Ich sitze ebenfalls an dieser Aufgabe, und hatte die Frage
> auch schonmal in nem anderenForum gestellt, aber dort
> konnte mir leider nicht so richtig geholfen werden.
> Ich habe die Aufgabe so gelöst gehabt, wie du es gerade
> vorgeschlagen hast, angela.h.b.. Doch leider bin ich mir
> jetzt nicht sicher, ob des auch wirklich so richtig ist.
Hallo,
.
Dein Weg ist richtig, ob Du beim Invertieren und Multiplizieren keinen Fehler gemacht hast, habe ich allerdings nicht geprüft.
Falsch ist dies:
> so ist
> S = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> die Übergangsmatrix von E nach B.
Das ist nicht die Übergangsmatix von E nach B sondern die von B nach E!
Schau in die erste Spalte. Was steht dort?
Der erste Basisvektor von B in Koordinaten bzgl. E.
Wenn Du den ersten Basisvektor v. B in Koordinaten bzgl B hineinsteckst, also [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_B,
[/mm]
dh. [mm] T*\vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] rechnest, so erhältst Du [mm] \vektor{1 \\ 2\\3}, [/mm] also den ersten Basisvektor v. B in Koordinaten bzgl. E.
---
Jetzt gucken wir uns mal peu a peu an, was mit einem Koordinatenvektor x bzgl. B, den wir mit [mm] T^{-1}AT [/mm] multiplizieren, passiert.
[mm] T^{-1}ATx:
[/mm]
Tx liefert uns denselben Vektor, aber in Koordinaten bzgl. E.
A(Tx) liefert uns das Bild des Vektors in Koordinaten bzgl. E
[mm] T^{-1}(ATx) [/mm] wandelt uns diesen Vektor dann wieder um in denselben, jedoch in Koordinaten bzgl B.
Wichtig ist, daß man bei diesen Matrixprodukten sich v. letzten Faktor zum ersten vordenkt, denn in dieser Reihenfolge werden die Abbildungen ja angewendet.
Also nochmal:
umwandeln von B --> E mit Matrix T
abbilden E-->E mit Matrix A
umwandeln E-->B mit Matrix [mm] T^{-1}
[/mm]
ergibt insgesamt Abbildung B --> B.
So merke ich mir das, und seitdem ich es mir so merke, macht es mich auch nicht mehr konfus, wenn das, was ich hier T genannt habe, plotzlich irgendwo [mm] X^{-1} [/mm] heißt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 12.12.2007 | | Autor: | schapp |
hi dan-r-g,
ich hab das selbe ergebins raus. falls es dich beruhigt.. mich tut es das;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Mi 12.12.2007 | | Autor: | daN-R-G |
Na das klingt ja super!
Danke euch! ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Mi 12.12.2007 | | Autor: | freakish |
Hab's auf beide Arten gerechnet und jedes Mal dasselbe wie du rausbekommen. Sollte also stimmen. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:40 Mi 12.12.2007 | | Autor: | pjaquet |
Editierung: Ich bitte, meinen Beitrag zu ignorieren. Ich habe ein Posting weiter oben übersehen und noch dazu einen kleinen Rechenfehler gemacht, ich komme vorerst ohne Hilfe weiter. Danke!
------
Hallo allerseits!
Ich sitze an derselben Aufgabe und bin eigentlich gerade dabei, das ganze genauso zu rechnen wie freakish (ergibt ja auch Sinn). Mein Problem: Ich erhalte einfach völlig andere Werte, beispielsweise ist "mein" Produkt der Matrix mit dem ersten Basisvektor, also mit [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] der folgende Vektor: [mm] \vektor{21 \\ 6 \\ 16} [/mm] . Ich bin eigentlich der Meinung, alles richtig gemacht zu haben, umso mehr verwundert es mich, hier andere Resultate zu finden. "Sieht" irgendjemand spontan einen Fehler den ich gemacht haben könnte? Die erste Zeile meiner Koordinatenmatrix lautet damit -1 , 19 , 8.
Ich werde die gesamte Aufgabe jetzt einfach in Ruhe nochmals aufschreiben, vielleicht fällt mir bis dahin ja mein Fehler auf (Wäre für spontane Tipps aber dankbar! :) )
Gruß,
Philipp
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
Also ich habe als Koordinatenmatrix
-1 5 -5
58 29 -12
68 37 17
raus.
HAt wer schon Aufgabe 2 gelöst? Und Aufgabe 3?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mi 12.12.2007 | | Autor: | pjaquet |
Hallo Emma_,
so wie ich das sehe, ist Deine koordinatenmatrix nicht richtig. Die, die freakish vorhin geschrieben hat, ist korrekt. Leider konnte ich nicht sehen, wo bei Dir der Fehler liegt, am Besten schaust Du dir nochmal die Lösungsansätze von freakish an, die führen gut zum Ziel.
Viel Erfolg noch!
Gruß,
Philipp
|
|
|
|
