Matrix gesucht < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Do 17.04.2008 | | Autor: | laphus |
Hallo! Ich suche eine 3x3 Matrix, deren charakt. Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt. Die Einträge der Matrix sollen reel sein.
Ich habe mir bereits überlegt, dass das Polynom nur 1. oder 2. Grades sein darf, weil ein Polynom 3. Grades immer in Linearfaktoren zerfällt. Aber ich kriege keine Matrix konstruiert. Danke für eure Hilfe!
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Hallo laphus,
> Hallo! Ich suche eine 3x3 Matrix, deren charakt. Polynom
> nicht in Linearfaktoren zerfällt. Die Einträge der Matrix
> sollen reel sein.
> Ich habe mir bereits überlegt, dass das Polynom nur 1.
> oder 2. Grades sein darf ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das charakteristische Polynom einer [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix ist doch vom Grade n, also bekommst du hier auf jeden Fall eines vom Grade 3
> , weil ein Polynom 3. Grades immer in Linearfaktoren zerfällt.![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das hat wohl ne reelle Nullstelle, aber das Restpolynom vom Grade 2 braucht ja nicht über [mm] $\IR$ [/mm] in Linearfaktoren zu zerfallen
Bsp.: [mm] $\lambda^3-\lambda^2+\lambda-1=(\lambda-1)(\lambda^2+1)$
[/mm]
> Aber ich kriege keine Matrix
> konstruiert. Danke für eure Hilfe!
Versuche es also so hinzubasteln, dass du außer der einen zwingenden reellen NST keine weitere bekommst...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Do 17.04.2008 | | Autor: | laphus |
Danke für deine Antwort. Dein Beispiel mit dem Polynom 3. Grades habe ich verstanden. Das Restpolynom zerfällt in diesem Fal nicht. Trotzdem gelingt es mir nicht eine Matrix zu finden, die ein solches charakt. Polynom besitzt. Entweder das Polynom zerfällt vollständig oder die Zerlegung ist zu schwierig, weil ich für die Polynomdivision keine ganzzahligen Nullstellen durch Raten finde. Dann kann ich auch nicht erkennen, ob das Polynom zerfällt... Für einen weiteren Tipp wäre ich sehr dankbar.
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Hallo nochmal,
na gut, weil du's bist 
Ich habe einfach ein bissl rumprobiert.
Ein recht "einfaches" Polynom 3.Grades, das über [mm] \IR [/mm] nicht komplett in Linearfaktoren zerfällt, ist [mm] $cp(\lambda)=\lambda^3+1=(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+1)$
[/mm]
Damit hab ich's probiert
Durch ein wenig "Heuristik" kann man eine "passende" Matrix $A$ bauen, deren charakteristisches Polynom genau [mm] $\lambda^3+1$ [/mm] ist.
Benutze die Regel von Sarrus und baue es so hin, dass alle Summanden für die Diagonalen von links nach rechts (k.A., wie man die nennt ), die bei Sarrus berechnet werden, 0 sind..
Noch ein Tipp: Setze auf die Hauptdiagonale lauter Nullen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 So 20.04.2008 | | Autor: | laphus |
Mhh, wenn ich auf der Hauptdiagonalen nur Nullen platziere, so lautet mein chark. Polynom doch [mm] (-\lambda)^3 [/mm] .... und nicht [mm] \lambda^3. [/mm] Wie soll ich damit ein Polynom der Form [mm] \lambda^3+1=0 [/mm] basteln?
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Hallo laphus,
dann bastel es so hin, dass du am Ende das charakteristische Polynom [mm] $-(\lambda^3+1)$ [/mm] hast, machmal ist das char. Polynom definiert als [mm] $det(A-\lambda\mathbb{E})$, [/mm] manchmal als [mm] $det(\lambda\mathbb{E}-A)$
[/mm]
Die unterscheiden sich nur durchs Vorzeichen und haben - falls vorhanden - dieselben NST
Wie wäre es mit [mm] $A=\pmat{0&-1&0\\0&0&1\\1&0&0}$ [/mm] ?
Dann ist [mm] $det(A-\lambda\mathbb{E}_3)=det\pmat{-\lambda&-1&0\\0&-\lambda&1\\1&0&-\lambda}=-\lambda^3-1=-(\lambda^3+1)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 So 20.04.2008 | | Autor: | laphus |
Vielen Dank!
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