Matrix geteilt durch Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:03 Sa 05.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen, kann man, und dass denke ich schon
eine Matrix durch eine andere teilen ?
Übrigens ich habe hier gerade
http://sl5.de/uni/matrixmultiplikaton.php
ein Tool geschrieben das das Multiplizieren schon ganz doll darstellt.
Und noch was, ich hab hier eine Aufgabe dargestellt.
Ich soll zeigen das A ein (skalares) Vielfaches der Einheitsmatrix ist wobei gilt:
AX = XA und bei sind invertierbare Matrizen.
Ich habe das mal hier ansatzweise veranschaulicht, weiss aber noch nicht den Weg zum allgemeinen Fall.
Für einen Schups wäre ich wieder mal dankbar !
[m]\begin{pmatrix}
S & 0 \\
0 & S
\end{pmatrix}[/m]
*
[m]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/m]
=
[m]\begin{pmatrix}
Sa = S * a + 0 * c & Sb = S * b + 0 * d \\
Sc = 0 * a + S * c & Sd = 0 * b + S * d
\end{pmatrix}[/m]
Und außerdem:
[m]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/m]
*
[m]\begin{pmatrix}
S & 0 \\
0 & S
\end{pmatrix}[/m]
=
[m]\begin{pmatrix}
aS = a * S + b * 0 & bS = a * 0 + b * S \\
cS = c * S + d * 0 & dS = c * 0 + d * S
\end{pmatrix}[/m]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Sa 05.06.2004 | | Autor: | baddi |
Es mus ja folgendes gelten:
[m]\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
...\\
a_{21} & a_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
*
[m]\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
...\\
x_{21} & x_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
=
[m]\begin{pmatrix}
a_{11}x_{11} + a_{12}x_{21} & a_{11}x_{12} + a_{12}x_{mn} \\
...\\
a_{21}x_{11} + a_{mn}x_{21} & a_{21}x_{12} + a_{mn}x_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
(1)
=
[m]\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
...\\
x_{21} & x_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
*
[m]\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
...\\
a_{21} & a_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
=
[m]\begin{pmatrix}
x_{11}a_{11} + x_{12}a_{21} & x_{11}a_{12} + x_{12}a_{mn}\\
...\\
x_{21}a_{11} + x_{mn}a_{21} & x_{21}a_{12} + x_{mn}a_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
(2)
(1) also gleich (2), also ausgeschrieben sieht das so aus:
[m]\begin{pmatrix}
a_{11}x_{11} + a_{12}x_{21} & a_{11}x_{12} + a_{12}x_{mn} \\
...\\
a_{21}x_{11} + a_{mn}x_{21} & a_{21}x_{12} + a_{mn}x_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
=
[m]\begin{pmatrix}
x_{11}a_{11} + x_{12}a_{21} & x_{11}a_{12} + x_{12}a_{mn}\\
...\\
x_{21}a_{11} + x_{mn}a_{21} & x_{21}a_{12} + x_{mn}a_{mn}
\end{pmatrix}[/m]
oder vielleicht besser so:
[m]
x1 * (a_{11}x_{11} + a_{12}x_{21} ) + x2 * ( a_{11}x_{12} + a_{12}x_{mn} ) =
x1 * (x_{11}a_{11} + x_{12}a_{21} ) + x2 * ( x_{11}a_{12} + x_{12}a_{mn} ) \\
...
x1 * (a_{21}x_{11} + a_{mn}x_{21} ) + x2 * ( a_{21}x_{12} + a_{mn}x_{mn} ) =
x1 * (x_{21}a_{11} + x_{mn}a_{21} ) + x2 * ( x_{21}a_{12} + x_{mn}a_{mn} )
[/m]
Daraus folg:
[m]\begin{pmatrix}
(a_{11}x_{11} + a_{12}x_{21} ) - (x_{11}a_{11} + x_{12}a_{21} ) & ( a_{11}x_{12} + a_{12}x_{mn} ) - ( x_{11}a_{12} + x_{12}a_{mn} ) \\
...\\
(a_{21}x_{11} + a_{mn}x_{21} ) - ( a_{21}x_{12} + a_{mn}x_{mn} ) & (x_{21}a_{11} + x_{mn}a_{21} ) - ( x_{21}a_{12} + x_{mn}a_{mn} ) \\
\end{pmatrix}[/m]
Hmmm... und jetzt muss ich das irgendwie ausrechnen ?
Und wenn eine Skalarmatrix rauskommt is es gut.
Ich glaube das ist ein Holzweg. Ich muss bestimmt irgendwas anderes probieren ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 So 06.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Stefan und all, guten Morgen zusammen.
Hab ich also mal wieder nicht mal die Aufgabe richtig abschreiben können ;)
Ja ist wohl besser, wenn ich mich beim Abschreiben mit meinen Interpretationen zurückhalte... ging bis jetzt eigentlich immer schief.
Außerdem schade das ich nie mit was fertig werde... die Zeit hetzt.
Z.B. die letzten Aufgaben hier online gestellt vor einer Woche.. noch mal vielen Dank.
Übrigens das Tool zum Matrizen - Mulitpilzieren ist aber doch fertig.
http://sl5.de/uni/matrixmultiplikaton.php
Kannst ja mal testen :)
Ich will das natürlich erweitern, sobald mein Wissen erweitert ist :)
Werd Marc dann noch schreiben...
Also jetzt genau die Aufgabenstellung.
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Sei A [mm] $\in$ [/mm] Gl(n,K) mit AX = XA für alle (wie macht man denn das für alle Symbol)
X [mm] $\in$ [/mm] Gl(n,K) (Notation wie in Vorlesung).
Zeigen Sie, das A ein (skalares) Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
Rausgefunden habe ich schon das A Skalermatrix genannt wird.
Also A ist quadratisch und auf der Diagonalen liegen Vielfache von der Zahl 1. Also z.b. 2, 2, 2 ... usw.
Gl(n,K) heist einfach nur, geschwollen Ausgedrückt, das alle Matrizen aus Gl(n,K) invertierbar sind. K ist ein Körber und n ... weis nicht, wohl die Nummer der Matrix die man aus dieser Menge meinen will. Oder vielleicht ist n auch die Anzahl der Elemente. Ist für die Aufgabe egal.
Hauptsache dessen Elemente sind invertierbar (und damit natürlich auch quadratisch).
Ahso, jetzt fällt mir was ein.
A hat also diese Form
[m]\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & a
\end{pmatrix}[/m]
Und X diese
[m]\begin{pmatrix}
w & x \\
y & z
\end{pmatrix}[/m]
Dann ist XA und AX natürlich
[m]\begin{pmatrix}
w a & x a \\
y a & z a
\end{pmatrix}[/m]
Klar. Nur dann ist die Multiplikation assoziativ.
Problem ist das ich es jetzt zwar weiss das es so ist, aber ich muss ja zeigen, das A eine Skalarmatrix sein muss.
Wie mach ich dass denn ?
Da habe ich jetzt wirklch wieder keine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 So 06.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
> Hallo zusammen, kann man, und dass denke ich schon
> eine Matrix durch eine andere teilen ?
Es kommt darauf an, wie du das meinst.
Wenn $A$ eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix ist und $B$ eine invertierbare $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix, dann kannst du
$A [mm] \cdot B^{-1}$
[/mm]
berechnen.
Meintest du das?
> Übrigens ich habe hier gerade
> http://sl5.de/uni/matrixmultiplikaton.php
> ein Tool geschrieben das das Multiplizieren schon ganz
> doll darstellt.
Es ist super, wenn du Tools schreiben willst. Darüber freuen wir uns sehr, denn die könnten wir auch für den Matheraum nutzen. Setz dich doch mal mit Marc in Verbindung.
> Und noch was, ich hab hier eine Aufgabe dargestellt.
> Ich soll zeigen das A ein (skalares) Vielfaches der
> Einheitsmatrix ist wobei gilt:
> AX = XA und bei sind invertierbare Matrizen.
Diese Aufgabenstellung macht keinen Sinn. Kannst du die Aufgabenstellung bitte wörtlich abschreiben oder aber einen Link auf den Aufgabenzettel setzen? Danke!
> Ich habe das mal hier ansatzweise veranschaulicht, weiss
> aber noch nicht den Weg zum allgemeinen Fall.
> Für einen Schups wäre ich wieder mal dankbar !
>
> [m]\begin{pmatrix}
> S & 0 \\
> 0 & S
> \end{pmatrix}[/m]
>
> *
> [m]\begin{pmatrix}
> a & b \\
> c & d
> \end{pmatrix}[/m]
>
> =
> [m]\begin{pmatrix}
> Sa = S * a + 0 * c & Sb = S * b + 0 * d \\
> Sc = 0 * a + S * c & Sd = 0 * b + S * d
> \end{pmatrix}[/m]
>
> Und außerdem:
>
> [m]\begin{pmatrix}
> a & b \\
> c & d
> \end{pmatrix}[/m]
>
> *
> [m]\begin{pmatrix}
> S & 0 \\
> 0 & S
> \end{pmatrix}[/m]
>
> =
> [m]\begin{pmatrix}
> aS = a * S + b * 0 & bS = a * 0 + b * S \\
> cS = c * S + d * 0 & dS = c * 0 + d * S
> \end{pmatrix}[/m]
>
Hier zeigst du, dass in [mm] $Mat(2,2,\IR)$ [/mm] Vielfache der Einheitsmatrix mit allen anderen Matrizen kommutieren. Solltet ihr das zeigen? Oder solltet ihr vielmehr zeigen, dass nur Vielfache der Einheitsmatrix mit allen anderen Matrizen kommutieren?
Melde dich bitte noch einmal mit der wörtlichen Aufgabenstellung, inklusive aller Hinweise und Tipps.
Liebe Grüße
Stefan
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) so kreativ werden, wie du willst. Das wollen wir ja.
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.math.ethz.ch/~gruppe1/Serien/linalgMATH/l7.pdf