Matrix in 3D-Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 05:35 Do 02.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
| Aufgabe | Ich durch Berechnungen eine Reihe von Werten erhalten die ich in Excel statistisch analysiert habe. Das Ergebnis hiervon ist eine Matrix mit 35 Einzelwerten (5 in x-Richtung und 7 in Y-Richtung). Die zugehörigen X- und Y-Werte sind bekannt.
Ich würde mir gern eine dreidimensionale Funktion aus Grundlage der Matrix in Excel berechnen. |
Und hier bräuchte ich nun eure Hilfe. Ich habe leider keinerlei Erfahrung mit dreidimensionalen Funktionen und habe daher allein schon Probleme einen Anfang zu finden.
Wäre gut, wenn mir jemand einen Anstoß oder einen Link zu Literatur im web geben könnte.
Warum Excel? Ich möchte das ganze Automatisieren und die Matrix per Makro einlesen, da ich 38*300 Funktionen bekommen müsste. Das wären also 38*300*35 Einzelwerte, die ich sonst einzeln Eintippen müsste.
Soweit ich mich in Mathematik zurück erinnern kann  benötigt man eine Annahme zur Funktion selbst, um diese Bestimmen zu können. Daher habe ich mir die Matrix schon einmal genauer angeguckt.
Hierbei habe ich die Matrix in allen Ebenen in zweidimensionale Funktionen zerlegt. Die Funktionen zeigen, dass in die x- und y-Richtung eine Funktion 3.Grades für eine ausreichende Genauigkeit sorgt.
Wenn Ihr noch weitere Informationen benötigt oder eine Beispielmatrix haben wollt, schreibt mir einfach nochmal.
Vielen Dank auf jeden Fall schon einmal für eure Mühe.
Gruß Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Fr 03.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Ich versuche erst einmal zu vertehen, was Du vorhast.
Dazu muss ich etwas raten:
Du hast eine Reihe von x-Werten und eine Reihe von y-Werten.
Zu jedem Paar dieser Werte hast Du einen Wert in Deiner Matrix. Dieser Wert wäre dann ein z-Wert über der x-y-Ebene?
Sollen dann alle diese z-Werte näherungsweise durch eine nette Funktion dargestellt werden, so in einer Art fliegenden Teppich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Mi 15.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
Du hast es völlig richtig erkannt.
Ich habe eine Reihe von x-Werten und eine Reihe von y-Werten und zu jedem dieser Wertepaare einen z-Wert und benötige zu dem ergebendem fliegendem Teppich eine mathematische Gleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Do 16.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Dann stell doch mal eine Besipielmatrix ein.
So ganz sicher bin ich mir nämlich noch nicht, wie aufwendig das Ganze wird. Wenn ein Datensatz, z.B. die x-Werte bei einem y, durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden kann, dann wird es für den nächsten y-Wert ja eine neue Funktion sein. Würde es dann reichen, die Zwischenwerte in y zu interpolieren?
Du kannst aber auch selbst schon mal etwas ausprobieren:
[mm]z = a_0 + a_1 * x + a_2 * y + a_3 * x * y + a_4 * x^2 + a_5 * y^2 + a_6 * x^2 * y + a_7 * x * y^2 + a_8 * x^3 + a_9 * y^3[/mm]
Fang einfach mal an, indem Du erst einmal bis auf [mm] a_0 [/mm] alle Werte auf Null setzt. Dann such Dir ein [mm] a_0, [/mm] dass einen Wert gut zwischen allen Deinen z-Werten ergibt (den Mittelwert aller z-Werte).
Der fliegende Teppich ist nun eine waagerechte Ebene. Nun
gönnst Du Dir ein wenig [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2. [/mm] Damit kippst Du den Teppich um die y- und die x-Achse. So geht es langsam mit den anderen Parametern weiter.
Dann kommt der entscheidende Punkt:
Excel hat eine Funktion, die ich noch nie benutzt habe: den Solver. Mit dem können die besten Parameter gefunden werden.
Dazu gibst Du in einer Zelle ein, was Du unter der besten Anpassung an Deine Daten verstehst. Üblich wäre die Summe der quadrierten Differenzen zwischen den z-Werten aus den Daten und den z-Werten aus der Funktion. Du kannst auch die Summer der Absolutbeträge der Differenzen nehmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Fr 17.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
Hier eine Beispiel Matrix:
[z]
x y-> 0,25 1,00 2,00 3,00 4,00
5 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99
20 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96
30 0,94 0,93 0,93 0,93 0,92
40 0,92 0,90 0,89 0,89 0,89
50 0,89 0,87 0,86 0,85 0,85
60 0,87 0,84 0,82 0,81 0,81
Die Werte können auch stärker variieren. Haben jedoch den Grenzwert 1,00, den sie in der Regel bei x=5 auch erreichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Sa 18.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Wie hart ist das Kriterium z = 1 bei x = 5?
Kann das fest eingebaut werden oder soll das auch angepasst werden?
Ist die Monotonie fallend mit x, fallend mit y immer gegeben?
Bis ich das in Excel machen kann muss ich noch ein paar Tage warten. In OpenOffice reicht die Funktion Solver dafür nicht aus.
Prinzipiell bleibe ich aber bei meinem Vorschlag:
Du hast die Tabelle mit den Werten. Dann erstellst Du mit Hilfe der Formel eine Tabelle mit den berechneten Werten.
Für jedes Paar beobachtet-gemessen bildest Du die Differenz und quadrierst diese. Dann addierst Du alle diese Differenzen auf. Diese Summe soll der Solver minimieren und dafür die Werte von [mm] a_0 [/mm] bis [mm] a_9 [/mm] anpasssen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Mo 20.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
Das Kriterium bei x=0,25 und y=5 ist stärker als bei x=1,0.
Die Monotonie ist immer gegeben. Die Werte müssen immer in Richtung x und y abnehmen.
Danke dir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Mo 20.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Wie das genau gemacht werden soll hängt auch davon ab, wofür das Ganze gut sein soll. Geht es um ein grafische Darstellung? Sollen Zwischenwerte berechnet werden (für x = 13,5 zum Beispiel?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 20.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
Wie bereits beschrieben, sind das alles Ergebnisse aus einer Prameterstudie. Hierbie habe ich eine Reihe von Berechnungen gemacht.
Ziel meinerseits ist es jetzt Zwischenwerte berechnen zu können und auf eine sich aufblähende Datenbank zu verzichten. Denn ich habe ziemlich viele Berechnungen durchgeführt und müsste sonst all meine Daten in einer Datenbank zusammenfassen.
Genau genommen habe ich 40*32*8*2 Matizen, die ich berechnen muss. Ich habe bereits eine Excel-Tabelle angefertigt, um meine Berechnungsergebnisse zu analysieren. Die Tabelle enthält 16 Matrizen und ist bereits 40MB groß. Da kann man sich vorstellen, wie das Gesamtprodukt hinterher aussieht.
Die Formeln möchte ich dann anschließend nutzen, die Berechnungsergebnisse und Matrizen durch die Parater der Formel zu ersetzen.
Dadurch würde ich reichlis Speicherplatz sparen, die Exceltabelle wäre problemlosausführbar und würde nicht den Arbeitsspeicher heiß laufen lassen und ich könnte netterweise sogar noch Zwischenwerte berechnen.
Aber wie bereits erwähnt, war dies meine Idee und bin leider schnell an meine mathimatische und excelbezogende Grenze gestoßen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 20.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Es wird bei mir etwas dauern, bis ich weiter bin. Das Excel kmmt erst in den nächsten Tagen, dann habe ich aber keine Zeit mehr zum Spielen. Meine ersten Versuche in OpeneOffice Calc waren ganz ermutigend.
Mit dem derzeitgen Modell wären das 9 Parameter pro Matrix. Ist Dir damit gedient? Eventuell werden das aber weniger, zum Beispiel ist es vielleicht möglich [mm] a_0 [/mm] auf 1 festzusetzen und weitere Parameter herauszuehmen, wenn sie praktisch nicht benötigt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Di 21.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
So lang die Anzahl der Parameter irgendwo zwischen 1-16 liegt wäre dir damit sehr geholfen. Wenn neun ausreichen um die aufgespannte Fläche ausreichend genau zu beschreiben wäre das perfekt.
Danke dir für die Hilfe, bin schon gespannt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 21.04.2009 | | Autor: | chrisno |
> So lang die Anzahl der Parameter irgendwo zwischen 1-16
> liegt wäre dir damit sehr geholfen. Wenn neun ausreichen um
> die aufgespannte Fläche ausreichend genau zu beschreiben
> wäre das perfekt.
Da sind wir an einem wichtigen Punkt:
Wie genau ist ausreichend genau? Davon hängt das weitere Vorgehen ab. Ich hoffe, du hast noch ein wenig Zeit, bevor Du die Lösung brauchst.
Wenn ich mir die vorleigenden Daten ansehe, dann würde ich
für die x-Richtung jeweils eine Gerade eine recht gute Beschreibung. In y-Richtung fällt es zuerst schneller ab und läuft dann flacher aus. Gilt das für alle Matritzen?
Ich hätte gerne noch eine zweite Matrix, nämlich die, die den kleinsten Wert bei x=60 und y=4 hat. Da fällt mir gerade auf: sind das immer die gleichen Werte für x und y?
Oder kommt auch x = 70 oder anderes vor?
Generell: es geht um ein Tauschgeschäft: Anzahl der Parameter gegen Genauigkeit der Beschreibung.
Mit 35 Parametern wird es perfekt. Bloß muss man sich trotzdem noch Gedanken zur Interpolation machen.
Mit 6 (eigentlich 5) Parametern lässt sich die Matrix, die Du eingestellt hast, schon recht gut beschreiben.
5 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,98 0,98 0,98 0,98
20 0,96 0,96 0,95 0,95 0,95
30 0,94 0,93 0,92 0,92 0,91
40 0,92 0,90 0,89 0,89 0,88
50 0,89 0,87 0,86 0,85 0,85
60 0,87 0,84 0,83 0,82 0,81
wobei das noch nicht die beste Anpassung ist, sondern so mal schnell per Hand ausprobiert. Das sind nun alles lineare Funktionen. Was geht, hängt extrem davon ab, wie Ähnlich die Matritzen sind und wie genau Du die Werte reproduzeiren musst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mo 27.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
Naja, wie schon gesagt, habe ich mir die Matrizen mit Excel einwenig genauer angeschaut. So würde eine Funktion 3ten-Grades in x- und y-Richtung die Matrizen am besten beschreiben. Bei einer Geraden in x-Richtung würde es zum Teil zu großen Abweichungen führen.
Mit ausreichend genau war gemeint, dass der errechnete Wert nicht zu weit vom tatsächlichen Wert abweichen sollte. Wenn bspw. in der Matrix ein Wert von 0,77 steht, so sollte der errechnete Wert nicht 0,85 sein. Sollte ein Wert von 0,76 oder 0,78 errechnet werden, würde die Funktion völlig für meine Bedürfnisse ausreichen. Die Genauigkeit ist also schon auf die zweite Kommatelle bezogen. Hierbei ist eine Abweichung von +- 0,02 sollte dabei nicht überschritten werden.
Hier noch eine weitere Matrix:
0,25 1,00 2,00 3,00 4,00
5 0,89 0,88 0,88 0,88 0,88
10 0,86 0,85 0,85 0,85 0,85
20 0,82 0,80 0,79 0,78 0,78
30 0,78 0,75 0,74 0,73 0,73
40 0,76 0,72 0,70 0,70 0,69
50 0,74 0,70 0,67 0,66 0,66
60 0,72 0,67 0,64 0,63 0,62
Dies ist momentan die Matix mit den geringsten Werten, aufgrund der Vielzahl der Daten kann ich das jedoch nicht genau überblicken. Es könnten Also noch geringere Werte auftreten.
Viel Zeit habe ich leider nicht mehr. Was denkst du denn, wann du dir das genauer anschauen könntest. Da meine Abgabe ich 14 Tagen ist, komme ich leider langsam in Bedrängnis. Ich versuche hier schon alles weitere drumherum vorzubereiten bzw. fertigzustellen. Wäre also super, wenn du mir eine zeitliche Abschätzung geben könntest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Di 28.04.2009 | | Autor: | chrisno |
Im Pinzip kannst Du loslegen. Bei mir wird die Zeit eher knapper, tut mir leid. Zu einer gründlichen Analyse werde ich es nicht schaffen.
Zuerst einmal: Mein erster Vorschlag gilt weiterhin, doch der ist erst einmal unabhängig von den Daten.
Wenn ich mir Deine Daten ansehe, dann schlage ich folgendes vor:
Berechne für die Spalten mit y = 0,25, y = 2 und y = 4 die Ausgleichsgeraden (insgesamt 6 Paramter)
Aus diesen 6 Paramtern kannst Du nun alle weiteren Werte berechnen.
Dazu werden zuerst durch Interpolation die fehlenden Werte (y = 1 und y = 3) aus der Zeile mit x = 5 berechnet.
Dann berechnest Du die fehlenden Werte aus der Zeile mit x = 60, indem Du eine Parabel durch die drei Punkte legst.
Damit hast Du nun die auch hier die Werte für y = 1 und y = 3. Die fehlenden Werte erhältst Du nun durch Interploation entlang der x-Richtung.
Ich vermute mal, dass damit Deine Gernauigkeitsanforderungen erfüllt werden. Am besten berechnest Du immer die Differenzen, wenn Du die Parameter für die Matitzen ermittelst.
VIelleicht gefällt es Dir nicht, das dies nun keine fertige Formel ist. Die kann ich Dir nun nicht hinschreiben, aber den Weg dahin:
$z(x,y) = [mm] a(x)*y^2 [/mm] + b(x)*y + c(x)$
mit
a(x) berechnest Du aus der Interpolation zwischen a(5) und a(60) (sorry, es ist zu spät für mich, um die Formel hinzuschreiben)
ebenso b(x) und c(x)
dabei ist a(5) =0,
b(5), c(5), werden durch die Formel der Ausgleichgeraden berechnet
und a(60), b(60), c(60) die Koeffizieten der Parabel.
Nun kannst Du alles nacheinander einsetzen und hast ein ziemliches Monstrum von Formel.
Allgemeine Anmerkung: Ich schätze, dass 6 Parameter das Minimum sind. Kurven dritter Ordnung scheinen mir etwas zu aufwendig. Ansonsten bleibt mein Verweis auf den Solver. Da bekommst Du eine viel einfachere Formel. Auch da würde ich erst einmal mit den ersten 6 Paramtern anfangen.
Eine Anmerkung noch: Wenn Du direkt in Deiner ersten Frage schon die Matrix angegeben hättest, wären wir hier deutlich weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Mi 29.04.2009 | | Autor: | jan61983 |
Danke dir erstmal für deine Hilfe. Bin ja froh, dass ich jemanden gefunden habe, der mir das ganze etwas erklären kann.
Ich kann dir aber leider nicht ganz folgen.
Du schreibst: "Berechne für die Spalten mit y = 0,25, y = 2 und y = 4 die Ausgleichsgeraden (insgesamt 6 Paramter)
Aus diesen 6 Paramtern kannst Du nun alle weiteren Werte berechnen.
Dazu werden zuerst durch Interpolation die fehlenden Werte (y = 1 und y = 3) aus der Zeile mit x = 5 berechnet."
Ich habe die drei geraden nach dem Schema
$ f(x)=mx+b berechnet $
berechnet und habe daher drei m und drei b (insgesamt 6 Parameter).
Wie soll ich nun mit Hilfe der Zeile x=5 die anderen Parameter interpolieren?
Ich bin nun erst einmal so vorgegangen, dass ich den Mittelwert aus m(x=2) und m(x=4), sowie b(x=2) und b(x=4).
Anschließend habe ich über
$ (m(x=2) - m(x=0,25))/1,75 + m(0,25) $
(für b in selber Art und Weise) die Parameter für x=1 berechnet.
Meintest du das so?
Weiter schreibst du: "Dann berechnest Du die fehlenden Werte aus der Zeile mit x = 60, indem Du eine Parabel durch die drei Punkte legst.
Damit hast Du nun die auch hier die Werte für y = 1 und y = 3. Die fehlenden Werte erhältst Du nun durch Interploation entlang der x-Richtung."
Hiermit bin ich schließlich völlig überfordert?
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Mit Hilfe der Punkte P1(0,25;60) P2(2;60) P3(4;60) habe ich eine Funktion 2ten Grades in der Form
$ f(x)= [mm] ax^2+bx+c [/mm] $
erhalten. Wie soll oder kann ich hier nun in x-Richtung interpolieren, dass ich die fehlenden Parameter erhalte?
Ich hoffe ich versteh den Rest, wenn ich die Parameter ersteinmal ermittelt habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Fr 01.05.2009 | | Autor: | chrisno |
> Du schreibst: "Berechne für die Spalten mit y = 0,25, y =
> 2 und y = 4 die Ausgleichsgeraden (insgesamt 6 Paramter)
> Aus diesen 6 Paramtern kannst Du nun alle weiteren Werte
> berechnen.
> Dazu werden zuerst durch Interpolation die fehlenden Werte
> (y = 1 und y = 3) aus der Zeile mit x = 5 berechnet."
> Ich habe die drei geraden nach dem Schema
> [mm]f(x)=mx+b berechnet[/mm]
> berechnet und habe daher drei m und
> drei b (insgesamt 6 Parameter).
So habe ich das gemeint. Die Frage ist, wie Du das m und das b jeweils berechnet hast. Wahrscheinlich ist das Beste die Ausgleichsgerade. Ich vermute, es geht auch einfach mit den beiden Endwerten.
Nur zur Sicherheit, dass wir nicht aneinander vorbeischreiben: damit kannst Du nun für y =2,5, y = 4 und y = 6 alle Zwischenwerte berechnen.
> Wie soll ich nun mit Hilfe der Zeile x=5 die anderen
> Parameter interpolieren?
Interpolieren heißt nichts anderes, als die Werte mit einer Geraden verbinden und aus der Geraden die Zwischenwerte ablesen.
> Ich bin nun erst einmal so vorgegangen, dass ich den
> Mittelwert aus m(x=2) und m(x=4), sowie b(x=2) und b(x=4).
> Anschließend habe ich über
> [mm](m(x=2) - m(x=0,25))/1,75 + m(0,25)[/mm]
> (für b in selber Art
> und Weise) die Parameter für x=1 berechnet.
> Meintest du das so?
>
Ich glaube nicht. Meinst Du y = 1?
Aus der Zeile mit x = 5 hast Du drei Werte, nämlich die
für y =2,5, y = 4 und y = 6. Die dazwischen liegenden Werte, also zum Beispel mit y = 4,372 berechnest Du aus der Geraden, die die Werte von y = 4 und y = 6 verbindet.
Wenn es Dir besser gefällt, dann kannst Du auch eine Parabel durch die drei Punkte legen. Das musst Du für die
Zeile mit x = 60 ja sowieso tun.
> Weiter schreibst du: "Dann berechnest Du die fehlenden
> Werte aus der Zeile mit x = 60, indem Du eine Parabel durch
> die drei Punkte legst.
> Damit hast Du nun die auch hier die Werte für y = 1 und y
> [i]= 3.
Das war von mir nicht gut formuliert. Hier ist immer x = 60. Du hast drei Werte für y und zu diesen auch die z-Werte.
Für alle anderen y Werte sollen nun die z-Werte nach
der Gleichung $z(y) = [mm] a*y^2 [/mm] + b*y + c$ berechnet werden.
Du musst also erst a, b, c bestimmen. Das machst Du so:
$z(0,25) = 0,87 = [mm] a*0,25^2+ [/mm] b * 0,25 + c$
$z(2) = 0,82 = [mm] a*2^2 [/mm] + b*2 + c$
$z(4) = 0,81 = [mm] a*4^2 [/mm] + b*4 + c$
Wobei ich die z-Werte mal eingesetzt habe. Das ist ein lineares Gleichungssystem für a, b und c. Das habe ich ganz normal gelöst und so Formeln für a, b, und c erhalten. Für jede Matrix musst Du nur die jeweiligen z-Werte in diese Formeln ensetzen.
Nun halte ich mal den Zwischenstand fest:
- den "Aussenrand" einer Matrix kannst Du nun berechnen,
in der ersten und letzten Zeile, sowie in der ersten und letzen Spalte kannst Du beliebige Zwischenwerte bestimmen.
Nun wird das Innere gefüllt. Nehmen wir mal an, Du willst
z(x=37, y = 1,7) berechnen. Das machst Du nun so:
Berechne z(x=5, y=1,7) und z(x = 60, y=1,7). Das ist nun ja möglich. Nun legst Du durch diese beiden Punkte eine Gerade und rechnest aus, was für z(x=37, y = 1,7) herauskommt.
Vielleicht hätte ich das Ganze einfacher angehen sollen. Es kan nämlich gut sein, dass Dir das reicht. Dazu verzichte ich mal auf die Ausgleichsgeraden. Dann liest sich das Rezept nämlich so:
Entnimm der Matrix z(x=5, y=0,25), z(x=5, y=4), z(x=60, y=0,25), z(x=60, y=2), z(x=60, y=4).
Berechne die Gerade durch z(x=5, y=0,25) und z(x=5, y=4).
Damit kannst Du z(x=5, y) für alle y berechnen.
Berechne die Parabel durch z(x=60, y=0,25), z(x=60, y=2), z(x=60, y=4).
Damit kanst Du z(x=60, y) für alle y berechnen.
Um z(x,y) zu berechnen berechnest Du z(x=5, y) und z(x=60, y) und die Gerade durch diese beiden Punkte. Mit dieser kannst Du dann z(x,y) bestimmen.
Bei dieser Version sind nur noch 5 Parameter im Spiel. Was ich Dir auf jeden Fall rate: Wenn Du so vorgehst, dann
berechne sicherheitshalber z(x=5, y=0,25), z(x=5, y=4), z(x=60, y=0,25), z(x=60, y=2), z(x=60, y=4), denn da müssen ja die Orginalwerte wieder herauskommen.
Weiterhin berechne alle anderen Werte der Matrix und schau nach, ob sie nicht zu stark (mehr als 0,01?)von den Orginalwerten abweichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 So 03.05.2009 | | Autor: | jan61983 |
Super, das kam jetzt auch endlich bei mir an
Werd mir gleich ein Skript bauen, und das ganze Stichprobenartig für ein paar Matizen durchrechnen.
Danke dir erstmal für deine Hilfe.
Ein Frage dazu hätte ich allerdings noch. Die Verfahrensweise ist ja nun eine reine Interpolation. Lassen sich die Parameter auch mathematisch darstellen bspw. f(x,y)=... ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 So 03.05.2009 | | Autor: | chrisno |
Ja. Wenn man das so komplett hinschreibt, dann sieht das aber nicht schön aus. Ich habe es auch noch nicht gemacht.
Ich bin gespannt, ob es so gut genug ist. Wenn Du aber so wenig Zeit hast, dann leg lieber mal so los. Falls einige Matritzen nicht in das Schema passen, dann können wir die extra versorgen.
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