Matrix konstruieren/ Det < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 15.01.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | | Konstruieren Sie für jedes d [mm] \in \IZ [/mm] eine 3x3 Matrix in [mm] \IR^{3.3} [/mm] mit Einträgen in [mm] \IZ [/mm] \ {0} , welche die Determinante d hat. |
Hallo!
Eigentlich dachte ich die Aufgabe wäre net so schwer, aber irgendwo komme ich hier net zum Ereignis.
Wenn ich eine allgemeine Matrix A [mm] \vmat{ d & a & b \\ c & e & f \\ g & h & i } [/mm] betrachte, wäre ja die Determinate nach der Formel:
det A = d * det [mm] \vmat{ e & f \\ h & i } [/mm] - a * det [mm] \vmat{ c & f \\ g & i } [/mm] + b * det [mm] \vmat{ c & e \\ g & h }
[/mm]
Das würde ja heißen um als Ergebnis d rauszukriegen, müsste
det [mm] \vmat{ e & f \\ h & i } [/mm] = 1
det [mm] \vmat{ c & f \\ g & i } [/mm] = 0
det [mm] \vmat{ c & e \\ g & h } [/mm] = 0
sein, oder?
Und das würde ja wiederum heißen ei-fh = 1, ci-fg = 0 und ch-eg = 0, oder?
Aber wie kann ich das denn lösen? Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler drin?
Würd mich freuen, wenn jemand mal drüber schauen und mir weiterhelfen könnte! Danke im Voraus!
Sherin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 15.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Das einzige Problem bei dieser Aufgabe ist die Bedingung, dass die Einträge der Matrix aus [mm] $\IZ\setminus\{0\}$ [/mm] sein sollen. Dies solltest du zuerst missachten.
Sei also ein [mm] $d\in \IZ$ [/mm] gegeben. Suchen wir erstmal eine ganz einfach gestrickte Matrix, die offensichtlich die Determinante $d$ hat. Klar: [mm] $\begin{pmat} 1 & 0 & \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & d\end{pmat}$ [/mm] hat die Determinante $d$.
Jetzt musst du diese Matrix nachträglich noch in eine Matrix mit Koeffizienten aus [mm] $\IZ\setminus\{0\}$ [/mm] umformen, wobei die Umformungen die Determinante invariant lassen müssen. Welche Umformungen sind dies? Beispielsweise die Addition von Zeilen und Spalten. Versuche also, durch Addition von Zeilen und Spalten eine Matrix zu generieren, deren Einträge alle von $0$ verschieden sind. Diese Matrix hat dann immernoch die Determinante $d$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 15.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Hey super.. das ging ja noch einfacher!!Danke für die schnelle Antwort!
Sherin
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