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| Aufgabe | Skript:
Es sein [mm] \IK [/mm] ein Körper und m,n [mm] \in \IN. [/mm] Jede Matrix A [mm] \in M_{m \times n} (\IK) [/mm] definiert eine lineare Abbildung [mm] \psi_A: \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^m, \psi_A [/mm] (x) :=Ax und jede lineare Abbildung [mm] \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^m [/mm] ist von dieser Form für eine eindeutig bestimme Matrix A [mm] \in M_{m \times n} (\IK). [/mm] Dabei stimmt der i-te Spaltenvektor von A mit dem Bild des i-ten Einheitsvektors überein.Die Zuordnung [mm] M_{m \times n} (\IK) \cong [/mm] L [mm] (\IK^n, \IK^m), [/mm] A<-> [mm] \psi_A [/mm] ist ein linearer Isomorphismus. |
Hallo
Meine Frage ist: Warum diese Zuordnung (Zuordnung [mm] M_{m \times n} (\IK)\cong [/mm] L [mm] (\IK^n, \IK^m), [/mm] A<-> [mm] \psi_A) [/mm] bijektiv ist!
> Injektivität
Jede Matrix gibt uns 1 lineare Abbildung
> Surjektivität
Jede lineare Abbildung definiert eine Matrix
Ich habe diesen Beweis:
Sei [mm] \phi: \IK^n [/mm] -> [mm] \IK^m
[/mm]
Sei A [mm] \in M_{m \times n} (\IK) [/mm] die Matrix
A= [mm] \vektor{\phi(e_1) & \phi(e_2) & ... & \phi(e_n)}
[/mm]
Behauptung : [mm] \phi= \psi_A
[/mm]
Nach Konstruktion [mm] \psi_A (e_i) [/mm] = [mm] \phi(e_i)
[/mm]
x [mm] \in \IK^n [/mm] ist darstellbar x= [mm] x_1*e_1 [/mm] + ... [mm] x_n [/mm] * [mm] e_n
[/mm]
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi( x_1*e_1 [/mm] + ... [mm] x_n [/mm] * [mm] e_n) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] * [mm] \phi(e_1)...+x_n*\phi(e_n) =x_1 [/mm] * [mm] \psi_A(e_1)...+x_n*\psi_A(e_n) [/mm] = [mm] \psi_A(x_1*e_1 [/mm] + ... [mm] x_n [/mm] * [mm] e_n) [/mm] = [mm] \psi_A [/mm] (x)
Also: Jede Matrix gibt uns 1 lineare Abbildung.
Was ist mit der Surjektivität?
Da das Bld des i-ten einheitsvektors unter einer lin.Abbildung gerade die i-te Spalten von A ist.
Oder hab ich da was falsch verstanden?
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> Skript:
> Es sein [mm]\IK[/mm] ein Körper und m,n [mm]\in \IN.[/mm] Jede Matrix A [mm]\in M_{m \times n} (\IK)[/mm]
> definiert eine lineare Abbildung [mm]\psi_A: \IK^n[/mm] -> [mm]\IK^m, \psi_A[/mm]
> (x) :=Ax und jede lineare Abbildung [mm]\IK^n[/mm] -> [mm]\IK^m[/mm] ist von
> dieser Form für eine eindeutig bestimme Matrix A [mm]\in M_{m \times n} (\IK).[/mm]
> Dabei stimmt der i-te Spaltenvektor von A mit dem Bild des
> i-ten Einheitsvektors überein.Die Zuordnung [mm]M_{m \times n} (\IK) \cong[/mm]
> L [mm](\IK^n, \IK^m),[/mm] A<-> [mm]\psi_A[/mm] ist ein linearer
> Isomorphismus.
>
> Hallo
> Meine Frage ist: Warum diese Zuordnung (Zuordnung [mm]M_{m \times n} (\IK)\cong[/mm]
> L [mm](\IK^n, \IK^m),[/mm] A<-> [mm]\psi_A)[/mm] bijektiv ist!
>
> > Injektivität
> Jede Matrix gibt uns 1 lineare Abbildung
>
> > Surjektivität
> Jede lineare Abbildung definiert eine Matrix
>
> Ich habe diesen Beweis:
Hallo,
Du solltest an dieser Stelle genau sagen, was Du zu beweisen gedenkst.
Du möchtest ja zeigen, daß die Abbildung
[mm] F:$M_{m \times n} (\IK)\to$ [/mm] L [mm] $(\IK^n, \IK^m)$
[/mm]
mit
[mm] F(A):=\psi_A
[/mm]
bijektiv ist, richtig?
> Sei [mm]\phi: \IK^n[/mm] -> [mm]\IK^m[/mm]
> Sei A [mm]\in M_{m \times n} (\IK)[/mm] die Matrix
> [mm] A\red{:}=[/mm] [mm]\vektor{\phi(e_1) & \phi(e_2) & ... & \phi(e_n)}[/mm]
Deinem Ansatz entnehme ich, daß Du die Surjektivität von F zeigst,
daß Du nämlich zu jeder Abbildung [mm] $\phi:\IK^n, \IK^m [/mm] $ eine Matrix A findest, die darauf abgebildet wird.
Der von Dir gewählte Weg hierfür ist gut:
Du nimmst eine Abbildung [mm] \phi,
[/mm]
definierst (!) eine Matrix A und zeigst dann, daß diese Matrix vermöge F auf [mm] \phi [/mm] abgebidet wird, indem Du zeigst, daß [mm] \phi [/mm] gerade [mm] \psi_A [/mm] ist.
Das ist gut und richtig.
> Behauptung :
es ist [mm] \phi=F(A), [/mm] dh.
> [mm]\phi= \psi_A[/mm]
> Nach Konstruktion [mm]\psi_A (e_i)[/mm] = [mm]\phi(e_i)[/mm]
> x [mm]\in \IK^n[/mm] ist
eindeutig
> darstellbar x= [mm]x_1*e_1[/mm] + ... [mm]x_n[/mm] * [mm]e_n[/mm]
> [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\phi( x_1*e_1[/mm] + ... [mm]x_n[/mm] * [mm]e_n)[/mm] = [mm]x_1[/mm] * [mm]\phi(e_1)...+x_n*\phi(e_n) =x_1[/mm] *[mm]\psi_A(e_1)...+x_n*\psi_A(e_n)[/mm] = [mm]\psi_A(x_1*e_1[/mm] + ... [mm]x_n[/mm]
> * [mm]e_n)[/mm] = [mm]\psi_A[/mm] (x)
>
> Also: Jede Matrix gibt uns 1 lineare Abbildung.
Die Fazit stimmt, wie oben ausgeführt nicht:
Gezeigt hast Du: durch die oben definierte lineare Abbildung F wird auf jedes [mm] \phi\in L(\IK^n,\IK^m) [/mm] eine Matrix [mm] A$\in M_{m \times n} (\IK)$ [/mm] abgebildet, also ist F surjektiv.
In Deinen Worten:"jede lineare Abbildung definiert eine Matrix".
>
> Was ist mit der Surjektivität?
Die ist gezeigt.
Du mußt nun über die Injektivität nachdenken, also darüber, ob es sein kann, daß für [mm] A\not=A' [/mm] gilt: F(A)=F(A').
Oder Du zeigst [mm] KernF=\{Nullmatrix\}.
[/mm]
Achso.
Ich glaube, daß Du bei Deinen Überlegungen die Umkehrung von F im Kopf hattest, also die Abbildung G, welche jeder linearen Abbildung ihre Darstellungsmatrix zuordnet.
Die ist natürlich ebenfalls linear, und man kann deren Bijektivität zeigen.
Überlegen wir mal.
Sei G: L [mm] $(\IK^n, \IK^m)\to M_{m \times n} (\IK)
[/mm]
mit
[mm] G(\Phi):=A [/mm] für [mm] \phi=\psi_A.
[/mm]
Dann wäre jetzt erstmal über die Wohldefiniertheit nachzudenken.
Diese deutetest Du in Deinem Post bereits an: in den Spalten von A stehen nunmal die Bilder der Basisvektoren.
Dann die Linearität.
Injektivität: zeige, daß verschiedene Abbildungen auf verschiedene Matrizen abgebildet werden, bzw. daß nur die Nullabbbildung auf die Nullmatrix abgebildet wird, dh. [mm] kernG=\{0\}
[/mm]
Surjektivität:
Du mußt für eine beliebige Matrix A sagen, welche Abbildung vermöge G darauf abgebildet wird. Definiere also zu A die passende Abbildung und mache glaubhaft, daß sie durch G auf A abgebildet wird.
LG Angela
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hallo vielen dank für die mühe. DU hast mir mit deinen Post so manche augen geöffnet.
Die Surjektivität hab ich nun verstanden.
Kommen wir zur Injektivität von F.
Zuzeigen: Die Matrix A ist durch DIE lineare Abbildung [mm] \psi_A [/mm] eindeutig bestimmt.
Sei [mm] \psi_A [/mm] = [mm] \psi_{A'}, [/mm] ZZ: A+A'
> [mm] \psi_A [/mm] Auswerten an x
[mm] \psi_A [/mm] (x) = [mm] \psi_{A'} [/mm] (x)
> Def von [mm] \psi_A [/mm] (x) := Ax
Ax=A'x
Bin ich da am falschen Weg?
Was ich noch überlegt hab.
Offensichtlich ist [mm] \psi_A (e_i) [/mm] = A [mm] e_i [/mm] gerade der i-te spaltenvektor von A.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo vielen dank für die mühe. DU hast mir mit deinen
> Post so manche augen geöffnet.
> Die Surjektivität hab ich nun verstanden.
> Kommen wir zur Injektivität von F.
>
> Zuzeigen: Die Matrix A ist durch DIE lineare Abbildung
> [mm]\psi_A[/mm] eindeutig bestimmt.
> Sei [mm]\psi_A[/mm] = [mm]\psi_{A'},[/mm] ZZ: A+A'
????? ZZ:A+A' ist doch völlig sinnlos ! Meinst Du ZZ: A=A' ?
> > [mm]\psi_A[/mm] Auswerten an x
> [mm]\psi_A[/mm] (x) = [mm]\psi_{A'}[/mm] (x)
Ja: [mm]\psi_A[/mm] (x) = [mm]\psi_{A'}[/mm] (x) für jedes (!) x.
> > Def von [mm]\psi_A[/mm] (x) := Ax
> Ax=A'x
Ja: Ax=A'x für jedes x.
>
> Bin ich da am falschen Weg?
Nein. Warum folgt nun A = A' ??
FRED
> Was ich noch überlegt hab.
> Offensichtlich ist [mm]\psi_A (e_i)[/mm] = A [mm]e_i[/mm] gerade der i-te
> spaltenvektor von A.
> LG
>
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> > hallo vielen dank für die mühe. DU hast mir mit deinen
> > Post so manche augen geöffnet.
> > Die Surjektivität hab ich nun verstanden.
> > Kommen wir zur Injektivität von F.
> >
> > Zuzeigen: Die Matrix A ist durch DIE lineare Abbildung
> > [mm]\psi_A[/mm] eindeutig bestimmt.
> > Sei [mm]\psi_A[/mm] = [mm]\psi_{A'},[/mm] ZZ: A+A'
>
> ????? ZZ:A+A' ist doch völlig sinnlos ! Meinst Du ZZ:
> A=A' ?
Ja tippfehler
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> > > [mm]\psi_A[/mm] Auswerten an x
> > [mm]\psi_A[/mm] (x) = [mm]\psi_{A'}[/mm] (x)
>
> Ja: [mm]\psi_A[/mm] (x) = [mm]\psi_{A'}[/mm] (x) für jedes (!) x.
>
>
> > > Def von [mm]\psi_A[/mm] (x) := Ax
>
>
> > Ax=A'x
>
> Ja: Ax=A'x für jedes x.
>
>
> >
> > Bin ich da am falschen Weg?
>
> Nein. Warum folgt nun A = A' ??
Wenn die Matrixen multipliziert mit dem selben Vektor x übereinstimmen, dann stimmen doch auch die Matrizen überein?
Wahrscheinlich keine gute überlegung :(
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> > > hallo vielen dank für die mühe. DU hast mir mit deinen
> > > Post so manche augen geöffnet.
> > > Die Surjektivität hab ich nun verstanden.
> > > Kommen wir zur Injektivität von F.
> > >
> > > Zuzeigen: Die Matrix A ist durch DIE lineare Abbildung
> > > [mm]\psi_A[/mm] eindeutig bestimmt.
> > > Sei [mm]\psi_A[/mm] = [mm]\psi_{A'},[/mm] ZZ: A+A'
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> > ????? ZZ:A+A' ist doch völlig sinnlos ! Meinst Du ZZ:
> > A=A' ?
> Ja tippfehler
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> > > > [mm]\psi_A[/mm] Auswerten an x
> > > [mm]\psi_A[/mm] (x) = [mm]\psi_{A'}[/mm] (x)
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> > Ja: [mm]\psi_A[/mm] (x) = [mm]\psi_{A'}[/mm] (x) für jedes (!) x.
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> > > > Def von [mm]\psi_A[/mm] (x) := Ax
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> > > Ax=A'x
> >
> > Ja: Ax=A'x für jedes x.
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> > > Bin ich da am falschen Weg?
> >
> > Nein. Warum folgt nun A = A' ??
> Wenn die Matrixen multipliziert mit dem selben Vektor x
> übereinstimmen, dann stimmen doch auch die Matrizen
> überein?
Hallo,
die Richtung stimt völlig, Du mußt das bloß genauer sagen.
Die i-te Spalte einer Matrix bekommt man ja, wenn man mit [mm] e_i [/mm] multipliziert.
Also?
LG Angela
> Wahrscheinlich keine gute überlegung :(
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