Matrix mit Kern(v) = Bild(f) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für a € R sei die lineare Abbildung f : R3 -> R3 definiert durch f(x) :=
[mm]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 5 \\
1 & -1 & a
\end{pmatrix}
x
[/mm]
a) Bestimmen Sie a € R so, dass a nicht bijektiv ist. Berechnen Sie dann für diesen speziellen Wert a eine Matrix B so, dass die lineare Abbildung v : R3 -> R3; x -> Bx als Kern genau Im (fa) hat. Es reicht, wenn Sie eine nicht-Null-Zeile von B angeben.
Lösungen:
a = -7; B = 4 -3 -1 |
Hallo,
ich scheitere gerade an dieser Übungsaufgabe.
a = -7 ist klar, da die Matrix dann eine Nullzeile gibt und unendlich viele Lösungen hat.
Nur wie bestimme ich die Matrix B?
Ich habe bereits die Bild von f bestimmt.
Das müsste sein:
[mm]
Bild(f) = \lambda 1 * \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda 2 * \begin{pmatrix} 0\\1\\-3 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun müsste doch B * Bild(f) = 0-Vektor ergeben oder?
Wie soll ich nun aber die Matrix B bestimmen?
Grüße
Matthiasnet
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Hallo Matthiasnet,
> Für a € R sei die lineare Abbildung f : R3 -> R3
> definiert durch f(x) :=
> [mm]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
1 & 3 & 5 \\
1 & -1 & a
\end{pmatrix}
x
[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie a € R so, dass a nicht bijektiv ist.
> Berechnen Sie dann für diesen speziellen Wert a eine
> Matrix B so, dass die lineare Abbildung v : R3 -> R3; x ->
> Bx als Kern genau Im (fa) hat. Es reicht, wenn Sie eine
> nicht-Null-Zeile von B angeben.
>
> Lösungen:
> a = -7; B = 4 -3 -1
> Hallo,
>
> ich scheitere gerade an dieser Übungsaufgabe.
> a = -7 ist klar, da die Matrix dann eine Nullzeile gibt
> und unendlich viele Lösungen hat.
> Nur wie bestimme ich die Matrix B?
> Ich habe bereits die Bild von f bestimmt.
> Das müsste sein:
>
> [mm]
Bild(f) = \lambda 1 * \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda 2 * \begin{pmatrix} 0\\1\\-3 \end{pmatrix}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Nun müsste doch B * Bild(f) = 0-Vektor ergeben oder?
Ja,. das ist richtig.
> Wie soll ich nun aber die Matrix B bestimmen?
Setze hier an mit
[mm]B=\pmat{b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}}[/mm]
Dann hast Du die Gleichung
[mm]\pmat{b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}}*\left(\lambda _{1} * \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_{2} * \begin{pmatrix} 0\\1\\-3 \end{pmatrix}\right)=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Welche sich dann auf folgende zwei Gleichungen reduziert:
[mm]b_{i1}+b_{i2}+b_{i3}=0[/mm]
[mm]0*b_{i1}+b_{i2}-3*b_{i3}=0[/mm]
für i=1,2,3
Hieraus bestimmst Du die Unbekannten [mm]b_{i1}, \ b_{i2}, \ b_{i3}, \ i=1,2,3[/mm]
>
> Grüße
> Matthiasnet
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für den Tip.
Dann bekomme ich ja raus:
[mm]
\begin{pmatrix} bi1 \\ bi2 \\ b13 \end{pmatrix} = bi3 * \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Durch Zeilenumformung enstehen dann 2 Nullzeilen, sodass ich nur noch eine Zeile mit b11,b12,b13 hab.
Warum erhalte ich aber die Negation des Musterergebnisses.
Hab ich noch einen Denkfehler?
Grüße
Matthiasnet
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Hallo Matthiasnet,
> Hallo MathePower,
>
> danke für den Tip.
>
> Dann bekomme ich ja raus:
> [mm]
\begin{pmatrix} bi1 \\ bi2 \\ b13 \end{pmatrix} = bi3 * \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> Durch Zeilenumformung enstehen dann 2 Nullzeilen, sodass
> ich nur noch eine Zeile mit b11,b12,b13 hab.
> Warum erhalte ich aber die Negation des
> Musterergebnisses.
Das Musterergebnis ist mehr eine Schönheits-Korrektur.
> Hab ich noch einen Denkfehler?
Nein, da ist kein Denkfehler.
>
> Grüße
> Matthiasnet
Gruss
MathePower
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