Matrix mit einen Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein beliebiger Körper n [mm] \ge [/mm] 2 aus [mm] \IN, [/mm] A eine (n [mm] \times [/mm] n)- Matrix über dem Körper K und [mm] \lambda \in [/mm] K ihr einziger Eigenwert. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen im allgemeinen richtig oder falsch sind.
(1) Die Voraussetzungen können nicht erfüllt werden, A wie oben besitzt wegen n [mm] \ge [/mm] 2 immer schon wenigstens zwei verschiedene Eigenwerte.
(2) A ist ähnlich zur Matrix [mm] \lambda E_{n} (E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix aus [mm] K^{n \times n})
[/mm]
(3) Wenn [mm] dim_{K} (V_{\lambda} [/mm] =n ist, dass ist A gleich der Matrix [mm] \lambda E_{n}. [/mm] |
Hallo,
die obere Aufgabe scheint mir recht simpel und wollte deshalb nachfragen ob ich in meinen Überlegungen etwas übersehen habe.
Die erste Aussage ist doch falsch, weil es auch eine Matrix geben kann die keinen Eigenwert hat
Bsp. [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
die zweite Aussage müsste richtig sein, weil die Matrix nur einen einzigen Eigenwert hat und somit hätte sie doch nur [mm] \lambda [/mm] s in der Diagonale und wäre somit ähnlich zur Einheitsmatrix [mm] \lambda E_{n} [/mm] oder?
und die dritte Aussage müsste auch richtig sein
denn [mm] dim_{K} (V_{\lambda} [/mm] =n [mm] \Rightarrow [/mm] Matrix ist diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] ähnlich zur Einheitsmatrix [mm] \Rightarrow [/mm] muss gleich Einheitsmatrix sein...
sind meine Überlegungen soweit richtig?..bin mir bei der 2. Aussage leider nicht so ganz schlüssig...
LG Schmetterfee
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Hallo,
> Sei K ein beliebiger Körper n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN,[/mm] A eine (n
> [mm]\times[/mm] n)- Matrix über dem Körper K und [mm]\lambda \in[/mm] K ihr
> einziger Eigenwert. Entscheiden Sie, ob die folgenden
> Aussagen im allgemeinen richtig oder falsch sind.
> (1) Die Voraussetzungen können nicht erfüllt werden, A
> wie oben besitzt wegen n [mm]\ge[/mm] 2 immer schon wenigstens zwei
> verschiedene Eigenwerte.
> (2) A ist ähnlich zur Matrix [mm]\lambda E_{n} (E_{n}[/mm] die
> Einheitsmatrix aus [mm]K^{n \times n})[/mm]
> (3) Wenn [mm]dim_{K} (V_{\lambda}[/mm]
> =n ist, dass ist A gleich der Matrix [mm]\lambda E_{n}.[/mm]
> Die erste Aussage ist doch falsch, weil es auch eine Matrix
> geben kann die keinen Eigenwert hat
> Bsp. [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
Genau; für solch ein konkretes Gegenbeispiel solltest du aber auch angeben, um welchen Körper es bei dir gehen soll (du meinst natürlich [mm] \IR [/mm] ). Findest du auch ein Beispiel, bei welchem eine 2x2-Matrix nur einen EW hat?
> die zweite Aussage müsste richtig sein, weil die Matrix
> nur einen einzigen Eigenwert hat und somit hätte sie doch
> nur [mm]\lambda[/mm] s in der Diagonale und wäre somit ähnlich zur
> Einheitsmatrix [mm]\lambda E_{n}[/mm] oder?
Nein!
Die Aussage bedeutet unter anderen, dass A diagonalisierbar sein soll! Du hast doch selbst schon in einem anderen Post ein Gegenbeispiel gefunden: [mm] \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}. [/mm] Körper: [mm] \IR.
[/mm]
> und die dritte Aussage müsste auch richtig sein
> denn [mm]dim_{K} (V_{\lambda}[/mm] =n [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix ist
> diagonalisierbar [mm]\Rightarrow[/mm] ähnlich zur Einheitsmatrix
> [mm]\Rightarrow[/mm] muss gleich Einheitsmatrix sein...
Ich weiß nicht, was [mm] V_{\lambda} [/mm] ist. Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda?
[/mm]
Wenn dessen Dimension = n ist, so ist A zumindest schonmal diagonalisierbar. Auf der Diagonalen stehen dann aber die Eigenwerte, und das müssen nicht zwanghaft Einsen sein.
Somit stimmt die Aussage nicht.
(Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, so ist die einzig mögliche Diagonalmatrix, zu der sie ähnlich ist, die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen)
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > Sei K ein beliebiger Körper n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN,[/mm] A eine (n
> > [mm]\times[/mm] n)- Matrix über dem Körper K und [mm]\lambda \in[/mm] K ihr
> > einziger Eigenwert. Entscheiden Sie, ob die folgenden
> > Aussagen im allgemeinen richtig oder falsch sind.
> > (1) Die Voraussetzungen können nicht erfüllt werden,
> A
> > wie oben besitzt wegen n [mm]\ge[/mm] 2 immer schon wenigstens zwei
> > verschiedene Eigenwerte.
> > (2) A ist ähnlich zur Matrix [mm]\lambda E_{n} (E_{n}[/mm] die
> > Einheitsmatrix aus [mm]K^{n \times n})[/mm]
> > (3) Wenn [mm]dim_{K} (V_{\lambda}[/mm]
> > =n ist, dass ist A gleich der Matrix [mm]\lambda E_{n}.[/mm]
>
>
> > Die erste Aussage ist doch falsch, weil es auch eine Matrix
> > geben kann die keinen Eigenwert hat
> > Bsp. [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> Genau; für solch ein konkretes Gegenbeispiel solltest du
> aber auch angeben, um welchen Körper es bei dir gehen soll
> (du meinst natürlich [mm]\IR[/mm] ). Findest du auch ein Beispiel,
> bei welchem eine 2x2-Matrix nur einen EW hat?
>
naja wie du schon bei Punkt zwei angegebn hast die Matrix [mm] \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}
[/mm]
> > die zweite Aussage müsste richtig sein, weil die Matrix
> > nur einen einzigen Eigenwert hat und somit hätte sie doch
> > nur [mm]\lambda[/mm] s in der Diagonale und wäre somit ähnlich zur
> > Einheitsmatrix [mm]\lambda E_{n}[/mm] oder?
>
> Nein!
> Die Aussage bedeutet unter anderen, dass A
> diagonalisierbar sein soll! Du hast doch selbst schon in
> einem anderen Post ein Gegenbeispiel gefunden: [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}.[/mm]
> Körper: [mm]\IR.[/mm]
Okay klar doofer Denkfehler...mal wieder gelesen und gedacht ist doch kalr ohne zu ddenken..klar ist die Aussage falsch
>
> > und die dritte Aussage müsste auch richtig sein
> > denn [mm]dim_{K} (V_{\lambda}[/mm] =n [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix ist
> > diagonalisierbar [mm]\Rightarrow[/mm] ähnlich zur Einheitsmatrix
> > [mm]\Rightarrow[/mm] muss gleich Einheitsmatrix sein...
>
> Ich weiß nicht, was [mm]V_{\lambda}[/mm] ist. Der Eigenraum zum
> Eigenwert [mm]\lambda?[/mm]
ja genau das ist gemeint
> Wenn dessen Dimension = n ist, so ist A zumindest schonmal
> diagonalisierbar. Auf der Diagonalen stehen dann aber die
> Eigenwerte, und das müssen nicht zwanghaft Einsen sein.
> Somit stimmt die Aussage nicht.
ja aber es soll ja nur einen einzigen Eigenwert geben also stehen ind er Diagonale ja immer nur die gleichen [mm] \lambda [/mm] würde das denn nicht auch zur Einheitsmatriux änhlich sein?..weil die 111 in der Einheitsmatirx ja nur duch [mm] \lambda [/mm] ersetzt werden sollen und usnere Matrix soll ja ähnlich zu [mm] \lambda E_{n} [/mm] sein also müssten die meiner Meinung nach gleich sehne oder seh ichad as falsch?
>
> (Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, so ist die einzig
> mögliche Diagonalmatrix, zu der sie ähnlich ist, die
> Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen)
>
>
LG Schmetterfee
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Hallo,
> > > Die erste Aussage ist doch falsch, weil es auch eine Matrix
> > > geben kann die keinen Eigenwert hat
> > > Bsp. [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> >
> > Genau; für solch ein konkretes Gegenbeispiel solltest du
> > aber auch angeben, um welchen Körper es bei dir gehen soll
> > (du meinst natürlich [mm]\IR[/mm] ). Findest du auch ein Beispiel,
> > bei welchem eine 2x2-Matrix nur einen EW hat?
> >
> naja wie du schon bei Punkt zwei angegebn hast die Matrix
> [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm]
Genau.
> > > und die dritte Aussage müsste auch richtig sein
> > > denn [mm]dim_{K} (V_{\lambda}[/mm] =n [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix ist
> > > diagonalisierbar [mm]\Rightarrow[/mm] ähnlich zur Einheitsmatrix
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] muss gleich Einheitsmatrix sein...
> >
> > Ich weiß nicht, was [mm]V_{\lambda}[/mm] ist. Der Eigenraum zum
> > Eigenwert [mm]\lambda?[/mm]
> ja genau das ist gemeint
>
> > Wenn dessen Dimension = n ist, so ist A zumindest schonmal
> > diagonalisierbar. Auf der Diagonalen stehen dann aber die
> > Eigenwerte, und das müssen nicht zwanghaft Einsen sein.
> > Somit stimmt die Aussage nicht.
> ja aber es soll ja nur einen einzigen Eigenwert geben also
> stehen ind er Diagonale ja immer nur die gleichen [mm]\lambda[/mm]
> würde das denn nicht auch zur Einheitsmatriux änhlich
> sein?..weil die 111 in der Einheitsmatirx ja nur duch
> [mm]\lambda[/mm] ersetzt werden sollen und usnere Matrix soll ja
> ähnlich zu [mm]\lambda E_{n}[/mm] sein also müssten die meiner
> Meinung nach gleich sehne oder seh ichad as falsch?
Ja, das siehst du falsch. Ich habe extra, um dieser Bemerkung vorzubeugen, auch schon im letzten Post das hier geschrieben:
> > (Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, so ist die einzig
> > mögliche Diagonalmatrix, zu der sie ähnlich ist, die
> > Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen)
Es geht also auch nicht, irgendwie [mm] \lambda [/mm] aus der Matrix rauszuziehen.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > > > und die dritte Aussage müsste auch richtig sein
> > > > denn [mm]dim_{K} (V_{\lambda}[/mm] =n [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix
> ist
> > > > diagonalisierbar [mm]\Rightarrow[/mm] ähnlich zur Einheitsmatrix
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm] muss gleich Einheitsmatrix sein...
> > >
> > > Ich weiß nicht, was [mm]V_{\lambda}[/mm] ist. Der Eigenraum zum
> > > Eigenwert [mm]\lambda?[/mm]
> > ja genau das ist gemeint
> >
> > > Wenn dessen Dimension = n ist, so ist A zumindest schonmal
> > > diagonalisierbar. Auf der Diagonalen stehen dann aber die
> > > Eigenwerte, und das müssen nicht zwanghaft Einsen sein.
> > > Somit stimmt die Aussage nicht.
>
>
> > ja aber es soll ja nur einen einzigen Eigenwert geben also
> > stehen ind er Diagonale ja immer nur die gleichen [mm]\lambda[/mm]
> > würde das denn nicht auch zur Einheitsmatriux änhlich
> > sein?..weil die 111 in der Einheitsmatirx ja nur duch
> > [mm]\lambda[/mm] ersetzt werden sollen und usnere Matrix soll ja
> > ähnlich zu [mm]\lambda E_{n}[/mm] sein also müssten die meiner
> > Meinung nach gleich sehne oder seh ichad as falsch?
>
> Ja, das siehst du falsch. Ich habe extra, um dieser
> Bemerkung vorzubeugen, auch schon im letzten Post das hier
> geschrieben:
>
> > > (Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, so ist die einzig
> > > mögliche Diagonalmatrix, zu der sie ähnlich ist, die
> > > Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen)
>
> Es geht also auch nicht, irgendwie [mm]\lambda[/mm] aus der Matrix
> rauszuziehen.
ich glaub ich habe ein Problem mir das vorzustellen ist [mm] \lambda [/mm] E nicht eine Diagonalmatrix wo in der Diagonala nur lambda stehen? also [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }..und [/mm] so sieht doch auch unsere Matrix aus weil es nur einen Eigenwert gibt alkso auch Lambda in der Diagonale...wie kann das denn falsch sein? ich versteh echt nicht wo ich falsch denke..
LG Schmetterfee
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> ich glaub ich habe ein Problem mir das vorzustellen ist
> [mm]\lambda[/mm] E nicht eine Diagonalmatrix wo in der Diagonala nur
> lambda stehen? also [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }..und[/mm]
> so sieht doch auch unsere Matrix aus weil es nur einen
> Eigenwert gibt alkso auch Lambda in der Diagonale...wie
> kann das denn falsch sein? ich versteh echt nicht wo ich
> falsch denke.
Hallo,
wie wäre es damit, ab und an ein paar Satzzeichen einzustreuen?
Entgegenkommend wäre es auf jeden Fall.
Seid Ihr gerade bei Aufgabe (3
EDIT:
Wir haben also eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix A, welche nur einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] hat, dessen Eigenraum n-dimensional ist.
Die Frage ist, ob es sich bei A zwingend um das [mm] \lambda-fache [/mm] der Einheitsmatrix handelt.
Es ist A auf jeden Fall diagonalisierbar und damit ähnlich zu [mm] \lambda [/mm] E
Es gibt also eine invertierbare [mm] n\times [/mm] n- Matrix Q mit [mm] A=Q^{-1}(\lambda E_n)Q [/mm] ...
Oder seid Ihr erst bei (2)? In diesem Falle schau Dir für n=2 die Matrix [mm] A:=\pmat{\lambda&1\\0&\lambda} [/mm] an.
Ist [mm] \lambda [/mm] Ihr einziger Eigenwert? Ist sie diagonalisierbar?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:36 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
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> > ich glaub ich habe ein Problem mir das vorzustellen ist
> > [mm]\lambda[/mm] E nicht eine Diagonalmatrix wo in der Diagonala nur
> > lambda stehen? also [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }..und[/mm]
> > so sieht doch auch unsere Matrix aus weil es nur einen
> > Eigenwert gibt alkso auch Lambda in der Diagonale...wie
> > kann das denn falsch sein? ich versteh echt nicht wo ich
> > falsch denke.
>
> Hallo,
>
> wie wäre es damit, ab und an ein paar Satzzeichen
> einzustreuen?
> Entgegenkommend wäre es auf jeden Fall.
>
Ja das werd ich in Zukunft echt machen. Bloß wenn ich so im Schreibfluss bin, weil ich meine Gedanken nieder schreibe dann vergesse ich das ganz...Sorry
> Seid Ihr gerade bei Aufgabe (3)?
>
> Wir haben also eine [mm]n\times[/mm] n-Matrix A, welche nur einen
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] hat, dessen Eigenraum n-dimensional ist.
>
> Die Frage ist, ob es sich bei A zwingend um das
> [mm]\lambda-fache[/mm] der Einheitsmatrix handelt.
> Antwort: nein!
>
> Es ist A zwar diagonalisierbar und ähnlich zu [mm]\lambda[/mm] E,
> aber nicht zwingend gleich dieser Matrix.
>
> Wenn Q irgendeine invertierbare [mm]n\times[/mm] n- Matrix ist, dann
> ist nämlich [mm]B:=Q^{-1}(\lambda E_n)Q[/mm] ebenfalls eine Matrix
> mit dem einzigen EW [mm]\lambda,[/mm] welche aber in der Regel nicht
> [mm]=\lambda E_n[/mm] sein wird. Probier's doch mal aus.
>
> Oder seid Ihr erst bei (2)?
Hier sind wir zu dem Entschluss gekommen, dass es Falsch ist.. wegen z.B.
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] und aus diesem Gegenbeispiel ahben wir geschlossen das es falsch ist.
> In diesem Falle schau Dir für
> n=2 die Matrix [mm]A:=\pmat{\lambda&1\\0&\lambda}[/mm] an.
> Ist [mm]\lambda[/mm] Ihr einziger Eigenwert? Ist sie
> diagonalisierbar?
>
ja [mm] \lambda [/mm] ist ihr einziger Eigenwert und Diagonalisierbar ist sie auch.
LG Schmetterfee
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> > Oder seid Ihr erst bei (2)?
>
> Hier sind wir zu dem Entschluss gekommen, dass es Falsch
> ist.. wegen z.B.
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] und aus diesem Gegenbeispiel ahben
> wir geschlossen das es falsch ist.
>
> > In diesem Falle schau Dir für
> > n=2 die Matrix [mm]A:=\pmat{\lambda&1\\0&\lambda}[/mm] an.
> > Ist [mm]\lambda[/mm] Ihr einziger Eigenwert? Ist sie
> > diagonalisierbar?
> >
> ja [mm]\lambda[/mm] ist ihr einziger Eigenwert und Diagonalisierbar
> ist sie auch.
Hallo,
es ist [mm] \lambda [/mm] ihr einziger Eigenwert, und diagonalisierbar ist sie nicht.
(Es war mir entgangen, daß Ihr Euch bzgl. (2) schon einigen konntet.)
Gruß v. Angela
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trotzdem danke für deine Bemühungen. ich habe es nochmal nach geprüft die Matrix ist wirklich nicht diagonalisierbar.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 02:54 Do 13.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Seid Ihr gerade bei Aufgabe (3)?
>
> Wir haben also eine [mm]n\times[/mm] n-Matrix A, welche nur einen
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] hat, dessen Eigenraum n-dimensional ist.
>
> Die Frage ist, ob es sich bei A zwingend um das
> [mm]\lambda-fache[/mm] der Einheitsmatrix handelt.
> Antwort: nein!
Doch. Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist als n-dimensionaler Unterraum des n-dimensionalen Vektorraumes [mm] $K^n$ [/mm] der ganze [mm] $K^n$. [/mm] Insbesondere sind alle Vektoren der Standardbasis des [mm] $K^n$ [/mm] Eigenvektoren der Matrix A zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Da die Spalten der Matrix A gerade die Bilder dieser Standardbasis-Vektoren unter der Multiplikation mit A sind, hat A somit die Gestalt [mm] $\lambda E_n$.
[/mm]
> Wenn Q irgendeine invertierbare [mm]n\times[/mm] n- Matrix ist, dann
> ist nämlich [mm]B:=Q^{-1}(\lambda E_n)Q[/mm] ebenfalls eine Matrix
> mit dem einzigen EW [mm]\lambda,[/mm]...
Ja.
> ...welche aber in der Regel nicht
> [mm]=\lambda E_n[/mm] sein wird.
Doch: [mm] $Q^{-1}(\lambda E_n)Q=\lambda Q^{-1}E_n Q=\lambda Q^{-1}Q=\lambda E_n$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
um Verwirrungen vorzubeugen: Ich hatte die Aufgabenstellung falsch gelesen. Ich las: "(3) A ist ähnlich zu der Einheitsmatrix". Darauf hat sich mein Geschribsel bezogen...
Grüße,
Stefan
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