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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 08.12.2010 | | Autor: | JanW1989 |
| Aufgabe | Sei A := [mm] T_{1}DT_{2} [/mm] mit
D = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
[mm] T_{1}= \pmat{ -1 & -1 \\ -3 & -2 }
[/mm]
[mm] T_{2}= \pmat{ 2 & -1 \\ -3 & 1 }
[/mm]
Man berechne [mm] A^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IR
[/mm]
Hinweis: Man berechnet am Besten erst einmal [mm] T_{2}T_{1}, [/mm] nicht A |
Hallo,
ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
Wenn ich den Hinweis beachte und das Produkt errechne bekomme ich die Einheitsmatrix. Daran sehe ich ja dass [mm] T_{2} [/mm] die Inverse von [mm] T_{1} [/mm] ist. Ich dachte deshalb eigentlich, dass ja mit meiner Matrix D gar nichts passieren sollte, da sie ja einmal mit [mm] T_{2} [/mm] und dann mit deren Inversen multipliziert wird und ich sie dann ganz einfach potenzieren kann, da es sich ja schon um eine Diagonalmatrix handelt. Allerdings habe ich dann doch mal schnell die Probe gemacht und berechnet dass A gar nicht gleich D ist.
Jetzt stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht, welches Licht die Aufgabe bei mir aufgehen lassen will :)
Viele Grüße und Danke,
Jan
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Hallo Jan,
> Sei A := [mm]T_{1}DT_{2}[/mm] mit
> D = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 2 }[/mm]
> [mm]T_{1}= \pmat{ -1 & -1 \\
-3 & -2 }[/mm]
>
> [mm]T_{2}= \pmat{ 2 & -1 \\
-3 & 1 }[/mm]
>
> Man berechne [mm]A^{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IR[/mm]
Huch? Nicht eher für natürliche n?
> Hinweis: Man
> berechnet am Besten erst einmal [mm]T_{2}T_{1},[/mm] nicht A
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
> Wenn ich den Hinweis beachte und das Produkt errechne
> bekomme ich die Einheitsmatrix. Daran sehe ich ja dass
> [mm]T_{2}[/mm] die Inverse von [mm]T_{1}[/mm] ist. Ich dachte deshalb
> eigentlich, dass ja mit meiner Matrix D gar nichts
> passieren sollte, da sie ja einmal mit [mm]T_{2}[/mm] und dann mit
> deren Inversen multipliziert wird und ich sie dann ganz
> einfach potenzieren kann, da es sich ja schon um eine
> Diagonalmatrix handelt. Allerdings habe ich dann doch mal
> schnell die Probe gemacht und berechnet dass A gar nicht
> gleich D ist.
> Jetzt stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht, welches
> Licht die Aufgabe bei mir aufgehen lassen will :)
Na, wenn [mm]T_2T_1[/mm] die Einheitsmatrix ergibt, ist das doch wunderbar.
Was ist denn [mm]A^n[/mm]?
[mm]A^n=\underbrace{(T_1DT_2)(T_1DT_2)(T_1DT_2)(T_1DT_2)\ldots(T_1DT_2)}_{n\text{-mal}}[/mm]
[mm]=T_1D(T_2T_1)D(T_2T_1)D(T_2T_1)D\ldots(T_2T_1)DT_2[/mm]
[mm]=\ldots[/mm]
Nun?
Die "..." könntest du stilvoll in einen kleinen Induktionsbeweis packen ...
Aber die Idee sollte nun klar sein, und auch der Tipp aus der Aufgabenstellung sollte nun Sinn bekommen ... 
>
> Viele Grüße und Danke,
> Jan
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mi 08.12.2010 | | Autor: | JanW1989 |
Aaachjaaa :) Das hab ich auch schon mal irgendwann gesehen, aber gut dass du mich jetzt wieder drauf gebracht hast ! Jetzt ist natürlich alles klar :-p
Den Induktionsbeweis spar ich mir aber ;)
Danke!!!
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