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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Huhu,
ich habe hier eine Aufgabe und wollte mal wissen, ob meine Lösungsidee so passt.
Sei $A \varepsilon (element) M(m x n, K)$. Sei $V= (e_1,...,e_n)$ die kanonische Basis von $V = K^n$. Sei $W= (e_1,...,e_m)$ die kanonische Basis von $W=K^m$. Sei $V^{\*}$ die duale Basis zu V, sei $W^{\*}$ die duale basis zu W.
Zeige: die duale Abbildung $f_A^{\*}: Abb (S,W)--->V^{\*}$ hat die Matrizendarstellung
$M_V^{\*}^W^{\*} (f_A)^{\*} = ^tA$ (soll die transponierte Matrix bedeuten)
Alle Sachen mit dem $\*$ sollen dual heißen.
Also ich habe mir überlegt, dass man das so machen kann:
Sei $A = M_W^V (f_A) = (a_ij)$
$B = M_V^{\*}^W^{\*\ (f^{\*}_A) = (b_ji)$
$f(e_j) = \summe_{i=1}^{m} a_ij e_i$, daraus folgt
$a_ij = e_i^{\*} (f(e_j)) = f^{\*} (e_i^{\*}) (e_j)$
$f^{\*}(e_j^{\*}) = \summe_{j=1}^{n} b_ji e_j^{\*}$, daraus folgt
$b_ji = f^{\*} (e_i^{\*}) (e_j)$
Also gilt $a_ij = b_ji$
Also ist $B = ^tA$ (transponiert) und es gilt
$M_V^{\*}^W^{\*} (f_A^{\*}) = ^tA$
Das mit diesen sternchen hat nicht so gut geklappt sorry
Kann man das so machen ?????
Dann habe ich noch eine Frage :
Ich solldaraus folgen, das die Matrizen A und ihre transpinierte den gleichen Rang haben.
Da bin ich mir nicht sicher wie das geht. Wäre nett, falls mir jemand helfen könnte.
Danke
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Hallo Sebastian!
Ja, den Beweis kann man so machen - vielleicht sollte man etwas ausführlicher begründen, warum [mm] $b_{ji} [/mm] = [mm] f^*(e_i^*)(e_j)$ [/mm] gilt - da geht ja die Definition der dualen Basis ein.
Zum zweiten Teil: Dafür genügt es z.B. zu zeigen, dass [mm] $\mbox{ker } [/mm] f [mm] \cong \mbox{coker } [/mm] f^* = V^* / [mm] \mbox{im } [/mm] f^*$ gilt.
Dazu bilde einfach $v [mm] \in \mbox{ker } [/mm] f$ auf $v^* +
[mm] \mbox{im } [/mm] f^*$ ab und zeige, dass dies einen Isomorphismus induziert. Dann bist Du fertig wegen der Dimensionformel:
[mm] $\rg [/mm] A = [mm] \dim \mbox{im} [/mm] f = n - [mm] \dim \ker [/mm] f = n - (n - [mm] \dim \mbox{im } [/mm] f^*) [mm] \rg A^t$
[/mm]
Alles klar? 
Bis spätestens Montag,
Lars
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