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Forum "Lineare Abbildungen" - Matrixdarstellung
Matrixdarstellung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrixdarstellung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 So 19.01.2014
Autor: sowali

Aufgabe
i) Gegeben seien der Vektorraum R3 mit der kanonischen Basis E3 und der Basis B = {b1,b2,b3} mit b1 = (1,1,1)T, b2 = (1,0,1)T und b3 = (1,−1,0)T sowie der Vektorraum R2 mit der kanonischen Basis E2 und der Basis C = {c1,c2} mit c1 = (2,0)T und c2 = (0,1)T. Der Vektor x ∈ R3 besitze bezu¨glich E3 die Koordinaten (2,1,4)T. Sei L : R3 −→ R2 die lineare Abbildung, die bezu¨glich der kanonischen Basen E2 und E3 durch die Matrix ME2,E3 L = 2 −4 0 3 1 −1  beschrieben wird. Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung von Lx bezu¨glich der kanonischen Basis E2 und die Matrixdarstellung MC,B L . ii) Seien V und W Vektorr¨aume, L : V −→ W eine lineare Abbildung und U ein Untervektorraum von V . Zeigen Sie, dass L(U) ein Untervektorraum von W ist.

Wie bestimme ich die Matrixdarstellung?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Matrixdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 So 19.01.2014
Autor: angela.h.b.


> i) Gegeben seien der Vektorraum R3 mit der kanonischen
> Basis E3 und der Basis B = {b1,b2,b3} mit b1 = (1,1,1)T, b2
> = (1,0,1)T und b3 = (1,−1,0)T sowie der Vektorraum R2 mit
> der kanonischen Basis E2 und der Basis C = {c1,c2} mit c1 =
> (2,0)T und c2 = (0,1)T. Der Vektor x ∈ R3 besitze
> bezu¨glich E3 die Koordinaten (2,1,4)T. Sei L : R3 −→
> R2 die lineare Abbildung, die bezu¨glich der kanonischen
> Basen E2 und E3 durch die Matrix ME2,E3 L = 2 −4 0 3 1
> −1  beschrieben wird. Bestimmen Sie die
> Koordinatendarstellung von Lx bezu¨glich der kanonischen
> Basis E2 und die Matrixdarstellung MC,B L . ii) Seien V und
> W Vektorr¨aume, L : V −→ W eine lineare Abbildung und
> U ein Untervektorraum von V . Zeigen Sie, dass L(U) ein
> Untervektorraum von W ist.
>  Wie bestimme ich die Matrixdarstellung?

Hallo,

[willkommenmr].

Ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr in der Vorlesung eine Formel  notiert habt, die beschreibt, wie man aus der Matrix [mm] M^{E_3}_{E_2}(L) [/mm] die Matrix  [mm] M^{B}_{C}(L) [/mm] bekommt. (Stichwort:Basistransformation)

Diese solltest Du auf jeden Fall mal hinschreiben, im Idealfall zusammen damit, was die einzelnen beteiligten Matrizen machen.



Ansonsten, wenn diese Formeln nicht dran waren - und auch sonst -, hilft der Spruch:
in den Spalten von [mm] M^{B}_{C}(L) [/mm]  stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung L in Koordinaten bzgl C.
Du brauchst also erstmal [mm] L(b_i). [/mm]

LG Angela



>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Matrixdarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 So 19.01.2014
Autor: sowali

Leider gab es zum Thema Basistransformation nix oder ich bin zu blöd zum Suchen.  Ich hab jetzt L(b) ausgerechnet und folgendes erhalten:

L(b1)=(-2,9)T ; L(b2)=(2,4)T ; L(b3)=(6,1)T

In Matrixform wäre das ja dann (-2,9;2,4;6,1)T

Ich stell jetzt einfach die Hypothese auf, dass ich dadurch L: B -> e2 hab.

Jetzt jage ich das ganze durch die C - Matrix und hab dann die Darstellungsmatrix, ist das soweit richtig?

Bin übrigens für jegliche Hilfe sehr dankbar.

Bezug
                        
Bezug
Matrixdarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Mo 20.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Leider gab es zum Thema Basistransformation nix oder ich
> bin zu blöd zum Suchen.  Ich hab jetzt L(b) ausgerechnet
> und folgendes erhalten:
>  
> L(b1)=(-2,9)T ; L(b2)=(2,4)T ; L(b3)=(6,1)T

Hallo,

ich kann nicht genau erkennen, wie die gegebene Matrix gemeint ist, daher kann ich die Ergebnisse nicht prüfen.

>  
> In Matrixform wäre das ja dann (-2,9;2,4;6,1)T

Falls dies eine [mm] 2\times [/mm] 3-Matrix sein soll, und die Ergebnisse oben richtig sind, stimmt das.

>  
> Ich stell jetzt einfach die Hypothese auf, dass ich dadurch
> L: B -> e2 hab.

Du hast jetzt die Matrix [mm] M_{E_2}^{B}(L). [/mm]

>
> Jetzt jage ich das ganze durch die C - Matrix und hab dann
> die Darstellungsmatrix, ist das soweit richtig?

Ich weiß nicht, wie durchjagen geht, wie und wie Du durchjagst.
Man müßte das sehen.

Du müßtest jetzt entweder die [mm] L(b_i) [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. C schreiben und diese als Spalten in eine Matrix packen, oder

Du rechnest  [mm] C^{-1}*M_{E_2}^{B}(L). [/mm]

LG Angela

>  
> Bin übrigens für jegliche Hilfe sehr dankbar.


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