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| Aufgabe | Es sei B = { [mm] {v_{1}, ..., v_{n}} [/mm] } eine Basis des reelen VR V und [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V die durch
[mm] \phi(v_{1}) [/mm] := [mm] v_{2}, [/mm] ... , [mm] \phi(v_{n-1}) [/mm] := [mm] v_{n}, \phi(v_{n}) [/mm] := [mm] v_{1}
[/mm]
definierte Lineare Abbildung. Geben Sie die Matrixdarstellung von [mm] \phi-id_{V} [/mm] bezüglich B an. Untersuchen sie [mm] \phi-id_{V} [/mm] auf Injektivität und Surjektivität. |
Bräuchte komplette Lösung mit Lösungsweg.
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei B = [mm] \{{v_{1}, ..., v_{n}}\} [/mm] eine Basis des reelen VR
> V und [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V die durch
> [mm]\phi(v_{1})[/mm] := [mm]v_{2},[/mm] ... , [mm]\phi(v_{n-1})[/mm] := [mm]v_{n}, \phi(v_{n})[/mm]
> := [mm]v_{1}[/mm]
> definierte Lineare Abbildung. Geben Sie die
> Matrixdarstellung von [mm]\phi-id_{V}[/mm] bezüglich B an.
> Untersuchen sie [mm]\phi-id_{V}[/mm] auf Injektivität und
> Surjektivität.
> Bräuchte komplette Lösung mit Lösungsweg.
> Danke schonmal
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch, Du wirst feststellen, daß dieses Forum nicht als Lösungsmaschine gedacht ist.
Bei der Entwicklung von Lösungen ausgehend von den Lösungsansaetzen und im Dialog mit den Fragenden helfen wir jedoch gerne und oft durchaus ausdauernd, und wenn Du an so etwas Interesse hast, bist Du bei uns richtig.
Vielleicht schilderst Du ggf. mal, wie weit Du bisher gekommen bist.
In der darstellenden Matrix bzgl. B müssen in den Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B stehen.
Du brauchst also erstmal für jedes i=1,...,n
[mm] (\phi [/mm] - [mm] id_V)(v_i)= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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Ich hätte gerne einen Ansatz geliefert, doch leider weiß ich gar nicht wie ich mit dieser Aufgabe umgehen muss.
Ich werde mich aber an die Regeln halten.
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> Ich hätte gerne einen Ansatz geliefert, doch leider weiß
> ich gar nicht wie ich mit dieser Aufgabe umgehen muss.
Hallo,
ich hab' Dir doch oben gesagt, wie Du anfangen kannst.
Das kannst Du ja erstmal umsetzen, dann sehen wir weiter. es ist nicht schwer.
Gruß v. Angela
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kannst du mir vllt sagen was dieses [mm] \phi-id_{V} [/mm] bedeutet?
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> kannst du mir vllt sagen was dieses [mm]\phi-id_{V}[/mm] bedeutet?
Hallo,
die Abbildung [mm] \Phi [/mm] wurde Dir ja angegeben.
[mm] id_V [/mm] ist die Identität auf V, dh. die jeden vektor sich selbst zuordnet.
[mm] \phi [/mm] - [mm] id_V [/mm] wieder eine Abbildung, nämlich die Differenz der beiden. Nach Voraussetzung ist [mm] \phi [/mm] linear, [mm] id_V [/mm] ist linear, also ist [mm] \phi [/mm] - [mm] id_V [/mm] eine lineare Abbildung.
Nach Def. der Summe bzw. Differenz von Abbildungen ist
[mm] (\phi [/mm] - [mm] id_V)(x):= \phi(x)- id_V(x) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] V.
Weil die Abbildung [mm] \phi [/mm] - [mm] id_V [/mm] linear ist, brauchst Du nur ihre Funktionswerte auf einer Basis, hier auf [mm] (v_1,...,v_n).
[/mm]
Wenn Du die hast, können wir die Matrix aufstellen.
Gruß v. Angela
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Ich muss diese Abbildung also als Permutation behandeln. Das heißt doch in meinem Fall, dass die Funktionswerte dann hierauf hinauslaufen.
( [mm] v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{n-1}, v_{n}, v_{1} [/mm] )
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