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| Aufgabe | a) Betrachten Sie [mm] $f:K^{5\times 1}\to K^{5\times 1}$, [/mm] gegeben durch [mm] $f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 })=\vektor{x_3 \\ x_4 \\ x_1 \\ x_5 \\ x_2 }.
[/mm]
Finden Sie die Matrixdarstellung von f bezüglich der Standardbasis von [mm] $K^{5\times 1}$
[/mm]
b) Sei nun [mm] $\pi [/mm] : [mm] \{ 1,2,...,n \} \to \{ 1,2,...,n\} [/mm] $ bijektiv [mm] $f_{\pi }: K^{n \times 1} \to K^{n \times 1}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f_\pi (\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n }) [/mm] = [mm] \vektor{x_\pi (1) \\ x_\pi (2) \\ ... \\ x_\pi (n)})$
[/mm]
Finden Sie die Matrixdarstellung von [mm] $f_\pi$ [/mm] bezüglich der Standardbasis von [mm] $K^{n\times 1}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich hab hier ein Problem mit der b).
Die a) habe ich denke ich soweit gelöst und zwar wie folgt:
Standardbasis von [mm] $K^{5\times 1}$ [/mm] ist:
[mm] $\mathbb{B}_n [/mm] := [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } \}$
[/mm]
Somit ergibt sich für die Bilder der Basisvektoren:
$f( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }$,$f( \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }$ [/mm] ,$f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }$ [/mm] ,$f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }$ [/mm] ,$f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }$
[/mm]
Diese als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt:
$f( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = 0* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 1* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }$
[/mm]
$f( [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }=0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 1* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
$f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }=1* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
$f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }=0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 1* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
$f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] ) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }=0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 1* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + 0* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
Daraus ergeben sich die Koordinatenvektoren:
[mm] $u_1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }$, u_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }, u_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, u_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, u_5= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }$
[/mm]
Somit erhalten wir die Matrix:
[mm] $A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Passt das soweit?
Aber bei der Aufgabe b) habe ich das Problem, dass ich nicht genau verstehe, was das [mm] $x_\pi [/mm] (n)$ darstellen soll.
Vielen Dank für die Hilfe.
LG
Dudi
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Hallo DudiPupan,
> a) Betrachten Sie [mm]$f:K^{5\times 1}\to K^{5\times 1}$,[/mm]
> gegeben durch [mm]$f(\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 })=\vektor{x_3 \\ x_4 \\ x_1 \\ x_5 \\ x_2 }.[/mm]
>
> Finden Sie die Matrixdarstellung von f bezüglich der
> Standardbasis von [mm]K^{5\times 1}[/mm]
> b) Sei nun [mm]\pi : \{ 1,2,...,n \} \to \{ 1,2,...,n\}[/mm]
> bijektiv [mm]f_{\pi }: K^{n \times 1} \to K^{n \times 1}[/mm]
> gegeben durch
> [mm]f_\pi (\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n }) = \vektor{x_\pi (1) \\ x_\pi (2) \\ ... \\ x_\pi (n)})[/mm]
>
> Finden Sie die Matrixdarstellung von [mm]f_\pi[/mm] bezüglich der
> Standardbasis von [mm]K^{n\times 1}[/mm]
>
>
>
>
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich hab hier ein Problem mit der b).
> Die a) habe ich denke ich soweit gelöst und zwar wie
> folgt:
>
> Standardbasis von [mm]K^{5\times 1}[/mm] ist:
> [mm]\mathbb{B}_n := \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } \}[/mm]
>
>
> Somit ergibt sich für die Bilder der Basisvektoren:
>
> [mm]f( \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } ) = \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm],[mm]f( \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } ) = \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> ,[mm]f( \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } ) = \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> ,[mm]f( \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } ) = \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> ,[mm]f( \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } ) = \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> Diese als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt:
> [mm]f( \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } ) = \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } = 0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 1* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]f( \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } ) = \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }=0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } + 1* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]f( \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } ) = \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }=1* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]f( \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } ) = \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }=0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 1* \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]f( \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } ) = \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }=0* \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } + 1* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } + 0* \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Daraus ergeben sich die Koordinatenvektoren:
>
> [mm]$u_1=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }$, u_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }, u_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, u_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, u_5= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }$[/mm]
>
> Somit erhalten wir die Matrix:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Passt das soweit?
>
Ja.
> Aber bei der Aufgabe b) habe ich das Problem, dass ich
> nicht genau verstehe, was das [mm]x_\pi (n)[/mm] darstellen soll.
>
Die Abbildung [mm]\pi[/mm] stellt eine Permutation
von den ersten n Zahlen auf die ersten n Zahlen dar.
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> LG
> Dudi
Gruss
MathePower
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Okay, aber wie mache ich das jetzt mit der Matrixdarstellung?
Es ist ja keine eindeutige Permutation gegeben!
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moin Dudi,
Bei der a) hast du ein Beispiel einer solchen Permutation.
Die Permutation aus Teil a) wäre:
[mm] $\pi [/mm] : [mm] \{1,2,3,4,5\} \to \{1,2,3,4,5\}$,
[/mm]
[mm] $\pi(1) [/mm] =3$
[mm] $\pi(2)= [/mm] 4$
[mm] $\pi(3)= [/mm] 1$
[mm] $\pi(4)= [/mm] 5$
[mm] $\pi(5)= [/mm] 2$
Betrachtest du deine Abbildungsmatrix, die du bei der a) ja richtig aufgestellt hast, so wirst du hier das selbe Zahlenmuster finden; nämlich die Standardbasisvektoren entsprechend durchgemischt; du musst nur ggf. ein wenig suchen. ;)
Wenn du das gefunden hast musst du dir überlegen, wie genau das zustande kommt und dann musst du in 1-2 Sätzen formulieren, wie die Abbildungsmatrix bei einer solchen gegebenen Permutation gefunden werden kann.
lg
Schadow
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> moin Dudi,
>
> Bei der a) hast du ein Beispiel einer solchen Permutation.
> Die Permutation aus Teil a) wäre:
> [mm]\pi : \{1,2,3,4,5\} \to \{1,2,3,4,5\}[/mm],
> [mm]\pi(1) =3[/mm]
> [mm]\pi(2)= 4[/mm]
>
> [mm]\pi(3)= 1[/mm]
> [mm]\pi(4)= 5[/mm]
> [mm]\pi(5)= 2[/mm]
>
Ja, das habe ich auch schon gesehen, jedoch habe ich hier ja genau vorgegeben, was auf was abgebildet wird.
> Betrachtest du deine Abbildungsmatrix, die du bei der a) ja
> richtig aufgestellt hast, so wirst du hier das selbe
> Zahlenmuster finden; nämlich die Standardbasisvektoren
> entsprechend durchgemischt; du musst nur ggf. ein wenig
> suchen. ;)
>
> Wenn du das gefunden hast musst du dir überlegen, wie
> genau das zustande kommt und dann musst du in 1-2 Sätzen
> formulieren, wie die Abbildungsmatrix bei einer solchen
> gegebenen Permutation gefunden werden kann.
Das verstehe ich noch nicht so ganz.
Ich kann doch unwahrscheinlich viele Matrizen finden, die eine Darstellungsmatrix einer Permutation sind.
Gibt es nur eine einzige?
>
> lg
>
> Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Fr 20.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Oder kann ich das vllt einfach allgemein schreiben:
$P:= [mm] \pmat{ p_{1,1} & p_{1,2} & . & . & . & p_{1,n}\\ p_{2,1} & p_{2,2} & . & . & . & p_{2,n} \\ . & . & . & & & . \\ . & . & & . & & . \\ . & . & & & . & . \\ p_{n,1} & p_{n,2} & . & . & . & p_{n,n}}= (p_{i,j}) \mbox{ mit } 1\leq [/mm] i,j [mm] \leq [/mm] n [mm] \mbox{ und } p_{i,j}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \pi (i) = j \\ 0, & \mbox{für } \pi (i) \neq j \end{cases} [/mm] $
???
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Hi,
ich sitz gerade vor der klitzegleichen Aufgabe.
Wie kommst du denn auf dein P jetzt? bzw. was beschreibt P? Ich hab die a) zwar auch richtig gelöst, komm aber mit dem Thema an sich noch nicht so wunderbar zurecht.
Kannst du mir bitte erklären was du dir da gedacht hast?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 23.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mo 23.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Sorry für die späte Antwort:
Also ich hab es folgendermaßen begründet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Jup, du hast Recht, es gibt eine ganze Menge Permutationsmatrizen.
Deine Überlegung aus der Mitteilung sieht aber schon ganz gut aus.
Mach dir diese am besten noch an ein paar Beispielen klar, bis du dir selbst glaubst, und dann erläutere noch kurz (gern auch unter Verwendung des konkreten Beispiels im ersten Teil, aber nicht ausschließlich darauf gestützt^^), wieso die Formel stimmt.
Und dann nochmal kurz zu deiner Info:
Das Kronecker-Delta ist definiert als:
[mm] $\delta_{ij} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \mbox{für } i=j \\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Da dir das sicher noch im Laufe deines Studiums begegnen wird wollt ich das nur mal kurz erwähnen, es passt nämlich so schön zu deinem $p$.
lg
Schadow
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