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| Aufgabe | Geben Sie die Koeffizientenmatrix A der linearen Abbildung
[mm] \phi: \IR^2 \to \IR^3, \phi(\pmat{x_{1} \\ x_{2}})=\pmat{3x_{2} \\ x_{1}-x_{2} \\ 4x_{1}}
[/mm]
bezüglich der Standardbasen [mm] \{\pmat{1 \\ 0}, \pmat{0 \\ 1}\} [/mm] und [mm] \{\pmat{1\\0\\0}, \pmat{0\\1\\0}, \pmat{0\\0\\1}\}
[/mm]
[mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}}
[/mm]
mit
[mm] a_{11}=
[/mm]
[mm] a_{12}=
[/mm]
[mm] a_{21}=
[/mm]
[mm] a_{22}=
[/mm]
[mm] a_{31}=
[/mm]
[mm] a_{32}= [/mm] |
Hallo.
Mein Ansatz zur Aufgabe:
Für [mm] \boldsymbol{x}\in\IR^2 [/mm] gilt: [mm] \boldsymbol{x}:=\pmat{x_{1}\\x_{2}}
[/mm]
und jedes [mm] \boldsymbol{y}\in\IR^3: \boldsymbol{y}:=\pmat{y_{1}\\y_{2}\\y_{3}}
[/mm]
Damit gilt für [mm] \boldsymbol{x}=u_{1}*x_{1}+u_{2}*x_{2}
[/mm]
wobei [mm] u_{1}=\pmat{1\\0} [/mm] und [mm] u_{2}=\pmat{0\\1}. [/mm]
Für [mm] \phi(u_{i})=y_{i}
[/mm]
Sodass:
[mm] \phi(\boldsymbol{x})=\phi(x_{1}*u_{1}+x_{2}*u_{2})
[/mm]
[mm] =\phi(x_{1}*u_{1})+\phi(x_{2}*u_{2})
[/mm]
[mm] =x_{1}*\phi{u_{1}}+x_{2}*\phi(u_{2})
[/mm]
[mm] =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}
[/mm]
Und mir fällt gerade auf, dass mir das gerade in der Aufgabe auch nicht weiterhilft.
Könnt ihr mir Lösungsvorschläge/Tips geben?
Gibt es Stichwörter die mir hier helfen?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:11 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] seien wie bei Dir oben.
Sei weiter [mm] v_1:=\pmat{1\\0\\0}, v_2:=\pmat{0\\1\\0}, v_3:= \pmat{0\\0\\1}
[/mm]
Für j=1,2 ist
[mm] \phi(u_j)=a_{1j}v_1+a_{2j}v_2+a_{3j}v_j
[/mm]
FRED
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Hallo Fred und danke für die Hilfe.
Zunächst:
[mm] \phi(u_{j}) [/mm] ist möglich, da [mm] u_{j} [/mm] Basen von [mm] \pmat{x_{1}\\x_{2}}=x_{1}*\boldsymbol{u_{1}}+x_{2}*\boldsymbol{u_{2}}. [/mm]
Zur Aufgabe:
[mm] \phi(u_{1})=a_{11}*\boldsymbol{v_{1}}+a_{21}*\boldsymbol{v_{2}}+a_{31}*\boldsymbol{v_{3}}
[/mm]
[mm] \phi(u_{2})=a_{12}*\boldsymbol{v_{1}}+a_{22}*\boldsymbol{v_{2}}+a_{32}*\boldsymbol{v_{3}}
[/mm]
Für:
[mm] \phi(\pmat{1\\0})=\pmat{0\\1\\4}=0\boldsymbol{v_{1}}+1\boldsymbol{v_{2}}+4\boldsymbol{v_{3}}
[/mm]
[mm] \phi(\pmat{0\\1})=\pmat{3\\-1\\0}=3\boldsymbol{v_{1}}+(-1)\boldsymbol{v_{2}}+0\boldsymbol{v_{3}}
[/mm]
In Matrix:
[mm] A=\pmat{0&3\\1 & -1 \\ 4&0}
[/mm]
So richtig?
Grüße
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Hallo Masseltof,
> Hallo Fred und danke für die Hilfe.
>
> Zunächst:
>
> [mm]\phi(u_{j})[/mm] ist möglich, da [mm]u_{j}[/mm] Basen von
> [mm]\pmat{x_{1}\\x_{2}}=x_{1}*\boldsymbol{u_{1}}+x_{2}*\boldsymbol{u_{2}}.[/mm]
>
> Zur Aufgabe:
>
> [mm]\phi(u_{1})=a_{11}*\boldsymbol{v_{1}}+a_{21}*\boldsymbol{v_{2}}+a_{31}*\boldsymbol{v_{3}}[/mm]
>
> [mm]\phi(u_{2})=a_{12}*\boldsymbol{v_{1}}+a_{22}*\boldsymbol{v_{2}}+a_{32}*\boldsymbol{v_{3}}[/mm]
>
> Für:
>
> [mm]\phi(\pmat{1\\0})=\pmat{0\\1\\4}=0\boldsymbol{v_{1}}+1\boldsymbol{v_{2}}+4\boldsymbol{v_{3}}[/mm]
>
> [mm]\phi(\pmat{0\\1})=\pmat{3\\-1\\0}=3\boldsymbol{v_{1}}+(-1)\boldsymbol{v_{2}}+0\boldsymbol{v_{3}}[/mm]
>
> In Matrix:
> [mm]A=\pmat{0&3\\1 & -1 \\ 4&0}[/mm]
>
> So richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Di 08.05.2012 | | Autor: | Masseltof |
Danke:)
Grüße
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