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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 06.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | In R2 seien die Standardbasis E: e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) und die Basis
B: b1 = (1,−3), b2 = (1, 1) gegeben.
Sei α: R2 −→ R2 die durch
α(b1) = (5,−10) und α(b2) = (−3, 6) definierte lineare Abbildung.
1. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen
B id B , E id B und B id E
2. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen
E [mm] \alpha [/mm] B, E [mm] \alpha [/mm] E und B [mm] \alpha [/mm] E |
Zunächst einmal stellt sich mir die Frage, was id bedeutet.
Ich habe deshalb mal mit Aufgabe 2 begonngen:
E [mm] \alpha [/mm] B:
[mm] \alpha(1, [/mm] -3) = (5, -10) muss ja mit meinem Einheitsvektoren 5*(1,0) und -10*(0,1) ergeben..
[mm] \alpha(1,1) [/mm] = (-3,6) muss ja mit den Einheitsverkoren -3*(1,0) und 6*(0,1) ergeben also..
E a B: [mm] \pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 }
[/mm]
Meiner Meinung nach...
Nun Frage ich mich aber wie ich bei E [mm] \alpha [/mm] E vorgehe..
Vorher hatte ich ja z.B. [mm] \alpha(b1) [/mm] = (5, -10) gegeben aber ein [mm] \alpha(e1) [/mm] =....gibt es ja nicht...
Kann ich irgendwie aus meiner nun gewonnen nen Matriz zurückrechnen um etwas hilfreichendes zu Erhalten?
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> In R2 seien die Standardbasis E: e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
> und die Basis
> B: b1 = (1,−3), b2 = (1, 1) gegeben.
>
> Sei α: R2 −→ R2 die durch
>
> α(b1) = (5,−10) und α(b2) = (−3, 6) definierte
> lineare Abbildung.
>
> 1. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen
> B id B , E id B und B id E
>
> 2. Berechnen Sie die Matrixdarstellungen
> E [mm]\alpha[/mm] B, E [mm]\alpha[/mm] E und B [mm]\alpha[/mm] E
> Zunächst einmal stellt sich mir die Frage, was id
> bedeutet.
Hallo,
id steht für die identische Abbildung.
Mit [mm] _Eid_B [/mm] ist die Abbildung gemeint, die Dir Vektoren, die in Koordinaten bzgl E gegeben sind, in solche bzgl B transformiert.
Irgendwie wundert's mich, daß Ihr die Vektoren als Zeilenvektoren schreibt.
Find ich verwirrend.
>
> Ich habe deshalb mal mit Aufgabe 2 begonngen:
>
> E [mm]\alpha[/mm] B:
> [mm]\alpha(1,[/mm] -3) = (5, -10) muss ja mit meinem
> Einheitsvektoren 5*(1,0) und -10*(0,1) ergeben..
>
> [mm]\alpha(1,1)[/mm] = (-3,6) muss ja mit den Einheitsverkoren
> -3*(1,0) und 6*(0,1) ergeben also..
>
> E a B: [mm]\pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 }[/mm]
Richtig.
>
> Meiner Meinung nach...
>
> Nun Frage ich mich aber wie ich bei E [mm]\alpha[/mm] E vorgehe..
> Vorher hatte ich ja z.B. [mm]\alpha(b1)[/mm] = (5, -10) gegeben
> aber ein [mm]\alpha(e1)[/mm] =....gibt es ja nicht...
Du kannst dies Aufgabe mithilfe der Transformationsmatrizen lösen, wenn Du sie erstmal berechnet hast.
Trotzdem ist es sehr lehrreich, das auch mal "zu Fuß" zu machen.
Um alpha [mm] (e_1) [/mm] zu berechnen, kannst Du erstmal die Koeffizienten [mm] \lambda_i [/mm] ermitteln mit mit [mm] e_1=\lambda_1b_1 +\lambda_2b_2.
[/mm]
Wenn Du das hast, kannst Du die Linearität ausnutzen:
[mm] \alpha (e_1)=\alpha (\lambda_1b_1 +\lambda_2b_2) [/mm] = ...
Gruß v. Angela
> Kann ich irgendwie aus meiner nun gewonnen nen Matriz
> zurückrechnen um etwas hilfreichendes zu Erhalten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 07.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
$ [mm] \alpha (e_1)=\alpha (\lambda_1b_1 +\lambda_2b_2) [/mm] $
Zu der Formel hab ich eine Frage:
Es wäre dann ja [mm] \lambda_1 [/mm] = 1/4 und [mm] \lambda_2 [/mm] = 3/4
setze ich das ganze in meine Formel ein erhalte ich ja wieder e1= [mm] \pmat{ 1 \\ 0}
[/mm]
Aber [mm] \alpha(e1) [/mm] = [mm] (\pmat{ 1 \\ 0}) [/mm] ist ja nicht korrekt oder?
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> [mm]\alpha (e_1)=\alpha (\lambda_1b_1 +\lambda_2b_2)[/mm]
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> Zu der Formel hab ich eine Frage:
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> Es wäre dann ja [mm]\lambda_1[/mm] = 1/4 und [mm]\lambda_2[/mm] = 3/4
>
> setze ich das ganze in meine Formel ein erhalte ich ja
> wieder e1= [mm]\pmat{ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Aber [mm]\alpha(e1)[/mm] = [mm](\pmat{ 1 \\ 0})[/mm] ist ja nicht korrekt
> oder?
Hallo,
Du weißt nun:
[mm] \alpha (e_1)=\alpha [/mm] (1/4 [mm] b_1 [/mm] +3/4 [mm] b_2)
[/mm]
Nun mußt Du Dir die Linearität von [mm] \alpha [/mm] zunutze machen und daraufhinarbeiten, daß rechts eine Linearkombination von [mm] \alpha (b_1) [/mm] und [mm] \alpha (b_2) [/mm] steht. [mm] \alpha (b_1) [/mm] und [mm] \alpha (b_2) [/mm] kennst Du ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 07.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Hallo,
>Du weißt nun:
[mm] >\alpha (e_1)=\alpha [/mm] (1/4 [mm] b_1 [/mm] +3/4 [mm] b_2) [/mm]
>Nun mußt Du Dir die Linearität von [mm] \alpha [/mm] zunutze machen und >daraufhinarbeiten, daß rechts eine Linearkombination von [mm] \alpha (b_1) [/mm] >und [mm] \alpha (b_2) [/mm] steht. [mm] \alpha (b_1) [/mm] und [mm] \alpha (b_2) [/mm] kennst Du ja.
>Gruß v. Angela
erstmal vielen Dank angela!!
hmm also:
$ [mm] \alpha (e_1)=\alpha (\lambda_1b_1) +\alpha (\lambda_2b_2) [/mm] $
Lambda, b1 und e1 ist mir bewusst...
Linearität bedeutet nun wohl, dass sich mein alpha wieder gleich verhält wie vorher...aber richtig weiter komm ich gerade nicht. Aus meinem Skript werde ich auch nicht wirklich schlau..
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> Hallo,
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> >Du weißt nun:
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> [mm]>\alpha (e_1)=\alpha[/mm] (1/4 [mm]b_1[/mm] +3/4 [mm]b_2)[/mm]
>
> >Nun mußt Du Dir die Linearität von [mm]\alpha[/mm] zunutze machen
> und >daraufhinarbeiten, daß rechts eine Linearkombination
> von [mm]\alpha (b_1)[/mm] >und [mm]\alpha (b_2)[/mm] steht. [mm]\alpha (b_1)[/mm] und
> [mm]\alpha (b_2)[/mm] kennst Du ja.
>
> >Gruß v. Angela
>
> erstmal vielen Dank angela!!
>
> hmm also:
>
> [mm]\alpha (e_1)=\alpha (\lambda_1b_1) +\alpha (\lambda_2b_2)[/mm]
Ja, und nun weiter, Dein Skript gibt doch noch 'nen bißchen mehr her, und die Linearitätsbedingungen solltest Du wirklich auswendig wissen:
[mm] \alpha (e_1)=\lambda_1\alpha (b_1) +\lambda_2\alpha (b_2), [/mm] und damit hast Du dann doch den Funktionswert von [mm] e_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 07.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
[mm] \alpha [/mm] (e1) = (1/4) * [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm] + (3/4) * [mm] \vektor{3 \\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{5/4 \\ -10/4} [/mm] + [mm] \vektor{-9/4 \\ 18/4} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm]
Korrekt?
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> [mm]\alpha[/mm] (e1) = (1/4) * [mm]\vektor{5 \\ -10}[/mm] + (3/4) *
> [mm]\vektor{\red{-}3 \\ 6}[/mm] = [mm]\vektor{5/4 \\ -10/4}[/mm] + [mm]\vektor{-9/4 \\ 18/4}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
> Korrekt?
Hallo,
ja, so ist's richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 09.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Habe nun noch eine andere Möglichkeit der Berechnung:
Ich glaube irgendwo einen Fehler gemacht zu haben, aber vom Prinzip her müsste es auch so funktionieren oder?
E [mm] \alpha [/mm] E = E id E * E [mm] \alpha [/mm] B * B id E
E [mm] \alpha [/mm] B = [mm] \pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 }
[/mm]
E id E ist doch die Einheitsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ?
Und B id E ist meiner Meinung nach [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 3 & 1 } [/mm] * (1/4)
E [mm] \alpha [/mm] E = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 3 & 1 } [/mm] * (1/4)
= [mm] \pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 3 & 1 } [/mm] * (1/4)
= [mm] \pmat{ -4 & -8 \\ 8 & 16 } [/mm] * (1/4)
= [mm] \pmat{ -1 & -2 \\ 2 & 4 } [/mm]
Ich glaube irgendwo ist ein Fehler..
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> Habe nun noch eine andere Möglichkeit der Berechnung:
>
> Ich glaube irgendwo einen Fehler gemacht zu haben, aber vom
> Prinzip her müsste es auch so funktionieren oder?
>
> E [mm]\alpha[/mm] E = E id E * E [mm]\alpha[/mm] B * B id E
Hallo,
richtig.
>
> E [mm]\alpha[/mm] B = [mm]\pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 }[/mm]
Ja.
>
> E id E ist doch die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Ja.
> ?
>
> Und B id E ist meiner Meinung nach [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 3 & 1 }[/mm]
> * (1/4)
[mm] _Bid_E [/mm] ist die Inverse von [mm] _Eid_B=\pmat{1&1\\-3&1}.
[/mm]
Sieht gut aus!
Was jetzt kommt, rechne ich nicht mehr nach. Das Prinzip stimmt.
Wieso glaubst Du, daß etwas falsch ist? Wenn Du das sagst, kann man dem ja auf den Grund gehen.
Gruß v. Angela
>
> E [mm]\alpha[/mm] E = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 3 & 1 }[/mm] * (1/4)
>
> = [mm]\pmat{ 5 & -3 \\ -10 & 6 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 3 & 1 }[/mm] *
> (1/4)
>
> = [mm]\pmat{ -4 & -8 \\ 8 & 16 }[/mm] * (1/4)
>
> = [mm]\pmat{ -1 & -2 \\ 2 & 4 }[/mm]
>
> Ich glaube irgendwo ist ein Fehler..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 10.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Laut meiner Lösung müsste:
E [mm] \alpha [/mm] E = [mm] \pmat{ 2 & -3 \\ -4 & 6 } [/mm] sein.
Naja vllt find ich noch den Fehler..
Vielen Dank!
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> Laut meiner Lösung müsste:
>
> E [mm]\alpha[/mm] E = [mm]\pmat{ 2 & -3 \\ -4 & 6 }[/mm] sein.
Hallo,
woher kommt diese Lösung?
Sie stimmt nicht.
Denn dann wäre [mm] \alpha (\vektor{1\\-3})=\pmat{ 2 & -3 \\ -4 & 6 }*\vektor{1\\-3}=\vektor{11\\-22}, [/mm] und das paßt nicht zu den Vorgaben der Aufgabenstellung, welche sagen:
> α(b1) = (5,−10)
Gruß v. Angela
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