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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Matrixexponential
Matrixexponential < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrixexponential: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Sa 20.08.2011
Autor: Omikron123

Aufgabe
y'(t)=Ay(t), y(0)=a

[mm] A:=\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }, a:=\pmat{ 0 \\ 1 } [/mm]


Ich weiß das die Lösung der Differentialgleichung wiefolgt aussehen muss:

[mm] y(t)=e^{At}a [/mm]

Jetzt möchte ich [mm] e^{At} [/mm] explizit bestimmen und bin dabei so vorgegangen:

[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }+\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 0 } [/mm]

[mm] e^{At}=\pmat{ e^t & 0 \\ 0 & e^{2t} }*\pmat{ 1 & t \\ 0 & 1 }=\pmat{ e^t & 3e^{t}t \\ 0 & e^{2t} } [/mm]

Jetzt noch mit a multiplizieren:

[mm] e^{tA}a=\pmat{ 3e^{t}t \\ e^{2t}} [/mm]

Kann ich so verfahren oder ist es nur mittels Jordanscher Normalform möglich?

        
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Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Sa 20.08.2011
Autor: blascowitz

Hallo

du hast hier ja die Formel verwendet [mm] $e^{A+B}=e^{A}\cdot e^{B}$. [/mm] Diese gilt aber für allgemeine Matrizen nicht, sie gilt nur falls $AB=BA$, also $A$ und $B$ kommutieren.

Von daher muss im allgemeinen Fall über die Diagonalisierung gehen.

Viele Grüße
Blasco

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Matrixexponential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Fr 26.08.2011
Autor: Omikron123

Tut mir Leid das ich mich erst jetzt melde. Wenn ich die Matrix A diagonalisieren möchte habe ich ein Problem. Im ersten Schritt muss man ja die Eigenwerte bestimmen, also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das Polynom [mm] \lambda^2-3\lambda+5=0 [/mm] besitzt jedoch keine reellen Nullstellen.

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Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Fr 26.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Omikron123,


> Tut mir Leid das ich mich erst jetzt melde. Wenn ich die
> Matrix A diagonalisieren möchte habe ich ein Problem. Im
> ersten Schritt muss man ja die Eigenwerte bestimmen, also
> die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Das
> Polynom [mm]\lambda^2-3\lambda+5=0[/mm]

Wie kommst du auf [mm]+5[/mm]?

Ich meine, das müsste [mm]+2[/mm] lauten ...

> besitzt jedoch keine reellen
> Nullstellen.

Das m.E. korrekte char. Polynom wohl ...

Gruß

schachuzipus


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Matrixexponential: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Fr 26.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

außerdem ist [mm]A[/mm] doch eine Dreiecksmatrix, da stehen die Eigenwerte schon auf der Hauptdiagonalen, die kannst du also ablesen ...

Gruß

schachuzipus


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Matrixexponential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Fr 26.08.2011
Autor: Omikron123

Ja natürlich +2, habe mich verrechnet. Die Jordansche Normalform schaut ja dann so aus:

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm]

Wie muss ich jetzt weitermachen um am Schluss [mm] e^{At} [/mm] zu erhalten?

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Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Fr 26.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ja natürlich +2, habe mich verrechnet. Die Jordansche
> Normalform

bzw. die Diagonalmatrix

> schaut ja dann so aus:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>  
> Wie muss ich jetzt weitermachen um am Schluss [mm]e^{At}[/mm] zu
> erhalten?

Du musst die Transformationsmatrix [mm]T[/mm] und deren Inverse bestimmen, die dir [mm]A[/mm] in die obige Diagonalmatrix bringt.

Dazu bestimme zu den Eigenwerten Eigenvektoren und packe sie als Spalten in die Matrix [mm]T[/mm]

Dann ist [mm]T^{-1}AT=D[/mm] die obige Diagonalmatrix.

Damit also [mm]A=TDT^{-1}[/mm]

Und [mm]e^{A}=e^{TDT^{-1}}=...[/mm]

Das ist dann leicht zu berechnen ...

Gruß

schachuzipus


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Matrixexponential: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Fr 26.08.2011
Autor: Omikron123

Danke für deine Antwort. T ist bei mir [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] T^{-1}=\pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 1 } [/mm]

[mm] TAT^{-1}=\pmat{ 1 & 6 \\ 0 & 2 } [/mm]

[mm] TDT^{-1}=\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }=A [/mm]

Bei [mm] e^{At} [/mm] bin ich mir aber immer noch unsicher.

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Matrixexponential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Fr 26.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Danke für deine Antwort. T ist bei mir [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 1 }[/mm]
> und [mm]T^{-1}=\pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 1 }[/mm] [ok]
>  
> [mm]TAT^{-1}=\pmat{ 1 & 6 \\ 0 & 2 }[/mm]

Das brauchst du nicht!

>  
> [mm]TDT^{-1}=\pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 2 }=A[/mm]

Ja, das muss ja so sein!


>  
> Bei [mm]e^{At}[/mm] bin ich mir aber immer noch unsicher.

Nun, es ist [mm]e^{At}=e^{TDT^{-1}t}=T\cdot{}e^{Dt}\cdot{}T^{-1}[/mm]

Und das Matrixexponential einer Diagonalmatrix ist leicht hingeschrieben.

Schaue mal im Skript nach, was dazu steht!

Gruß

schachuzipus


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Matrixexponential: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 Fr 26.08.2011
Autor: Omikron123

Danke, jetzt kenne ich mich aus.

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