Matrixexponential ableiten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
wir haben für $A [mm] \in \mathbb {C}^{n\times n}$ [/mm] definiert die Reihe [mm] $P(A)=\sum_{i=0} c_i A^i$. [/mm] Diese soll jetzt im Fall $A=Bx$ (ich nehme an B weiter eine komplexe Matrix und x ein komplexes Skalar) differenziert werden (es wurde nichts Näheres dazu gesagt). Aus irgendwelchen mir unersichtlichen Gründen soll jetzt gelten :$ [mm] \frac{d}{dx}P(Bx)=B*P'(Bx)$ [/mm] (im Skript werden auch keine näheren Gründe genannt, warum das gelten sollte).
Wie zeigt man das, ich habe jetzt das hier gefunden ![[]](/images/popup.gif) S.10, verstehe es aber leider nicht wirklich. Geht man jetzt so vor, dass man erst mal die Matrixpotenzen berechnet und dann irgendwie komponentenweise ableitet?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 15.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> wir haben für [mm]A \in \mathbb {C}^{n\times n}[/mm] definiert die
> Reihe [mm]P(A)=\sum_{i=0} c_i A^i[/mm]. Diese soll jetzt im Fall
> [mm]A=Bx[/mm] (ich nehme an B weiter eine komplexe Matrix und x ein
> komplexes Skalar) differenziert werden (es wurde nichts
> Näheres dazu gesagt). Aus irgendwelchen mir
> unersichtlichen Gründen soll jetzt gelten :[mm] \frac{d}{dx}P(Bx)=B*P'(Bx)[/mm]
> (im Skript werden auch keine näheren Gründe genannt,
> warum das gelten sollte).
> Wie zeigt man das, ich habe jetzt das hier gefunden
> S.10,
> verstehe es aber leider nicht wirklich.
Kein Wunder, denn der "Beweis" ist völliger Quark.
Da steht z.B. [mm] A^k=(a_{ij})^k. [/mm] Das bedeutet doch: [mm] A=(a_{ij}).
[/mm]
Dann sind aber die Einträge in [mm] A^k [/mm] im allgemeinen nicht von der Form [mm] a_{ij}^k.
[/mm]
Genau das aber "benutzt" der Beweis.
Für t [mm] \in \IR [/mm] (oder [mm] \in \IC) [/mm] sei [mm] f(t):=e^{At}=e^{tA}
[/mm]
Ich bevorzuge die Schreibweise [mm] e^{tA}, [/mm] weil dann der Skalar t vor der Matrix steht (wie es sich gehört)
Für festes [mm] t_0 [/mm] haben wir (E sei dabei die Einheitsmatrix)
[mm] \bruch{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}=e^{t_0 A}* \bruch{e^{hA}-E}{h}=e^{t_0 A}* \bruch{E+hA+\bruch{h^2}{2!}A^2+....-E}{h}=e^{t_0 A}(A+\bruch{h}{2!}A^2+....) \to e^{t_0 A}*A [/mm] für h [mm] \to [/mm] 0.
FRED
> Geht man jetzt so
> vor, dass man erst mal die Matrixpotenzen berechnet und
> dann irgendwie komponentenweise ableitet?
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich danke dir für die Erklärung zu dem Matrixexponential, das beantwortet die Frage hierfür sehr gut.
Wenn ich jetzt ähnlich an den allgemeinen Fall herangehe und betrachte für das P(Bx) den Differenzenquotienten, dann komme ich zu [mm] $lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sum_{i=0}^n c_i B^i ((t_0+h)^i-(t_0)^i)}{h}$ [/mm] hier sieht man (ich nahm an, dass man die Potenzen der Matrix und des Skalars auch getrennt betrachten kann), dass der Grenzwert mithilfe des binomischen Lehrsatzes zu [mm] $\sum_{i=0}^n c_i B^i it_0^{i-1}$ [/mm] wird, allerdings scheint mir das Käse zu sein bzw weis ich nicht, wie ich den Ausdruck interpretieren soll. Ich entschuldige mich schonmal, wenn es Käse ist. :) Was meinst du dazu?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Di 16.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ich danke dir für die Erklärung zu dem
> Matrixexponential, das beantwortet die Frage hierfür sehr
> gut.
> Wenn ich jetzt ähnlich an den allgemeinen Fall herangehe
> und betrachte für das P(Bx) den Differenzenquotienten,
> dann komme ich zu [mm]lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sum_{i=0}^n c_i B^i ((t_0+h)^i-(t_0)^i)}{h}[/mm]
> hier sieht man (ich nahm an, dass man die Potenzen der
> Matrix und des Skalars auch getrennt betrachten kann), dass
> der Grenzwert mithilfe des binomischen Lehrsatzes zu
> [mm]\sum_{i=0}^n c_i B^i it_0^{i-1}[/mm] wird, allerdings scheint
> mir das Käse zu sein bzw weis ich nicht, wie ich den
> Ausdruck interpretieren soll. Ich entschuldige mich
> schonmal, wenn es Käse ist. :) Was meinst du dazu?
Ich meine , Du solltest Dein Neugeborenes $ [mm] \sum_{i=0}^n c_i B^i it_0^{i-1} [/mm] $ mal genau anschauen und hätscheln und tätscheln ..... vielleicht wird was draus ..
1. $ [mm] \sum_{i=0}^n c_i B^i it_0^{i-1} =\sum_{i=1}^n c_i B^i it_0^{i-1}$
[/mm]
2. aus [mm] \sum_{i=1}^n c_i B^i it_0^{i-1} [/mm] ziehen wir ein B raus:
[mm] \sum_{i=1}^n c_i B^i it_0^{i-1}=B* \sum_{i=1}^n c_i B^{i-1}it_0^{i-1}
[/mm]
3. wir schauen genau hin: [mm] \sum_{i=1}^n c_i B^{i-1}it_0^{i-1}=p'(t_0B)
[/mm]
4. Jetzt sieht Dein Baby so aus: $B*p'(t_0B)$
Ein prächtiges Kerlchen.
Gruß von Hebamme FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 16.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
super, vielen Dank an die Hebamme. ;) Jetzt machen die weiter und verwenden eine Maximumsnorm $||A||$ für die Matrix A für die dann im weiteren Verlauf gefordert wurde $A=Bx$. Ich finde das etwas unsauber, weil die einfach weiter die selbe Norm verwenden. Müsste man jetzt nicht, wenn man eine Maximumsnorm verwenden will, nicht mit einer komapkten Menge von xen arbeiten?
Für die x wird dann weiter gefordert, dass [mm] $|x|<\frac{r}{||A||}$, [/mm] wenn man das dann verwendet passt es auch soweit, wenn man ausblendet, dass bis man das x als Skalar rausgezogen hat die Norm $||Bx||$ eigentlich nicht definiert ist.
Weiter wird dann gesagt, dass man damit sieht, dass die Reihe der Matrizen lokal gleichmäßig und absolut konvergent wird und man deshalb Ableitung und Summation vertauschen dürfe. Meint das einfach, dass hier innerhalb des Konvergenzradius wie gekannt die Potenzreihe abgeleitet werden darf?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 16.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> super, vielen Dank an die Hebamme. ;) Jetzt machen die
> weiter und verwenden eine Maximumsnorm [mm]||A||[/mm]
>
> für die Matrix A für die dann im weiteren Verlauf
> gefordert wurde [mm]A=Bx[/mm].
Ich nehme an, x ist wieder ein Skalar. Ich schreibe daher
A(x)=xB
mit einer gegebenen Matrix B.
> Ich finde das etwas unsauber, weil
> die einfach weiter die selbe Norm verwenden.
Hä ???? Ist $B = [mm] (b_{ij})$, [/mm] so ist [mm] $A(x)=(xb_{ij})$ [/mm] und damit
$ ||A(x)||= |x|* [mm] \max_{{i=1, \ldots ,m} \atop {j=1, \ldots , n}} [/mm] | [mm] b_{ij} [/mm] | $
> Müsste man
> jetzt nicht, wenn man eine Maximumsnorm verwenden will,
> nicht mit einer komapkten Menge von xen arbeiten?
Was ist los ??
> Für die x wird dann weiter gefordert, dass
> [mm]|x|<\frac{r}{||A||}[/mm],
Ich vermute, es lautet [mm]|x|<\frac{r}{||B||}[/mm].
> wenn man das dann verwendet passt es
> auch soweit, wenn man ausblendet, dass bis man das x als
> Skalar rausgezogen hat die Norm [mm]||Bx||[/mm] eigentlich nicht
> definiert ist.
Ich verstehe nicht von was Du redest.
> Weiter wird dann gesagt, dass man damit sieht, dass die
> Reihe
Welche Reihe ?????
> der Matrizen lokal gleichmäßig und absolut
> konvergent wird und man deshalb Ableitung und Summation
> vertauschen dürfe. Meint das einfach, dass hier innerhalb
> des Konvergenzradius wie gekannt die Potenzreihe abgeleitet
> werden darf?
Wenn Du Klarheit willst, so schreibe alles hier rein, mit allen Voraussetzungen und allem drum und dran.
Wenn ich Deine obigen Ausführungen lese, so kann ich nur ahnen worum es geht.
Nach Rätselspielchen ist mir heute gar nicht.
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 16.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
sorry, ich dachte es wäre verständlich, manchmal übersehe ich, dass was fehlt, weil ich selbst es gerade erst gelesen habe.
Also die nehmen das P(Bx) und definieren mit dessen Hilfe eine Reihe durch den Grenzwert der Partialsumme, also:
[mm] $p(A)=\sum_{i=0}^\infty c_i A^i$ [/mm] das wird dann mit dem bereits erwähnten $A =Bx$ zu [mm] $p(Bx)=\sum_{i=0}^\infty c_i (Bx)^i$.
[/mm]
Anmerkung: Es wurde jetzt definiert $A [mm] \in \mathbb{C}^{n \times n}$ [/mm] und dann einfach gesagt A=Bx um auf die zweite Reihe zu kommen. Es gilt dann aber offenbar [mm] $a_{ij} [/mm] = x [mm] b_{ij}$ [/mm] weswegen ich annehme, dass das x ein Skalar ist und so vorgezogen werden kann, wie du sagst. Allerdings war ich mir dann nicht mehr so sicher, ob ich dieses [mm] $b_{ij} [/mm] *x$ nicht als Funktion in x sehen muss, daher meine Frage zu der kompakten Menge.
Weiter sgaen die dann, wenn man eine Potenzreihe [mm] $p=\sum_{i=0}^\infty c_iX^i$ [/mm] mit Konvergenzradius r hat und wählt nun mit der beschriebenen Maximusnorm $||A||=s<r$, dass die Reihe dann absolut konvergent ist. Damit ist dann die Reihe als Grenzwert existent.
Weiter folgert man dann, dass für [mm] $|x|<\frac{r}{||A||}$ [/mm] (ich habe nochmal geschaut und es ist wirklich $||A||$) $p(Bx)$ absolut und lokal gleichmäßig konvergiert. Jetzt kommt dann das, was ich schon fragte, was die hier mit vertauschen von Summe und Ableitung meinen, weil genau das für die Ableitung der Reihe angeführt wird.
Falls noch etwas unklar ist, einfach sagen, aber ich denke ich habe jetzt alles, was im Skript dazu steht. ;)
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mi 17.02.2016 | | Autor: | fred97 |
So, nachdem ich Dir nun jedes Würmchen aus der Nase gezogen habe, ist mir Dein Anliegen klar.
Wir haben also eine komplexe Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_kz^k [/mm] mir dem Konvergenzradius r>0. Diese konvergiert also absolut und lokal gleichmäßig in der offenen Kreisscheibe [mm] K=\{z \in \IC: |z|
$p(z):= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_kz^k$.
[/mm]
2. Zutat: wir setzen [mm] $M:=\IC^{n \times n}$ [/mm] und versehen den Vektorraum $M$ mit einer submultiplikativen Norm $||*||$. (Beachte bitte, dass die Maximumsnorm nicht(!) submultiplikativ ist ! Das wurde, so glaube ich, von Deinem Prof übersehen.)
Dadurch wird $M$ zu einem normierten Raum, der sogar ein Banachraum ist, denn $M$ ist endlichdimensional.
Nun gilt: Konvergenz in $(M, ||*||)$ ist gleichbedeutend mit elementweiser Konvergenz.
Nun stellt sich die Frage: welchen Matrizen $A [mm] \in [/mm] M$ kann man eine Matrix $p(A):= [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_kA^k \in [/mm] M$ zuordnen ?
Das geht immer dann, wenn [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_kA^k [/mm] in $(M, ||*||)$ konvergiert (also elementweise konvergiert).
Wir wollen noch (ausnahmsweise) vereinbaren: [mm] \bruch{1}{r}=0, [/mm] falls $r= [mm] \infty$.
[/mm]
Sei nun $A [mm] \in [/mm] M$. Wir betrachten zunächst die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}|c_k|*||A^k|| [/mm] und setzen [mm] a_k:=|c_k|*||A^k||. [/mm] Mit der Submultiplikativität der Norm folgt:
[mm] $\wurzel[k]{|a_k|} \le \wurzel[k]{|c_k|}||A||$.
[/mm]
Geht man zum Limes superior über so ergibt sich
[mm] $\lim \sup \wurzel[k]{|a_k|} \le \bruch{1}{r}||A||$
[/mm]
(beachte obige Vereinbarung !)
Das Wurzelkriterium liefert: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}|c_k|*||A^k|| [/mm] ist konvergent, falls
$ ||A|| <r$
ist. In diesem Fall ist auch die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_kA^k [/mm] konvergent.
Und damit ist $p(A)$ wohldefiniert.
So, nun kommt eine weitere Matrix B [mm] \in [/mm] M ins Spiel. Um Trivialitäten zu vermeiden sei B [mm] \ne [/mm] 0. Wir setzen
[mm] K_B:= \IC, [/mm] falls r= [mm] \infty [/mm] und [mm] K_B:=\{z \in \IC: |z|<\bruch{r}{||B||} \}, [/mm] falls r < [mm] \infty.
[/mm]
Obige Ausführungen zeigen: die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_k(zB)k [/mm]
konvergiert absolut und lokal gleichmäßig auf [mm] K_B.
[/mm]
Für z [mm] \in K_B [/mm] setze wir
$f(z):=p(zB)$.
Mit der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt: f ist auf [mm] K_B [/mm] komplex differenzierbar (also holomorph) und man darf [mm] \summe_{k=0}^{\infty}c_k(zB)k [/mm] hinter dem Summenzeichen differenzieren.
Das liefert:
$f'(z)=p'(zB)*B=B*p'(zB)$ auf [mm] K_B.
[/mm]
Ich habe fertig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Do 18.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich danke dir noch mal sehr und gelobe Besserung bei meinen Ausführungen. ;) Danke, dass du mir trotzdem weitergeholfen hast.
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Also, ich komme nicht weiter, weil ich nicht hinkriege es in die geforderte Form zu schreiben. Ich dachte das ginge relativ gut mit dem Differenzenquotienten, aber leider sehe ich es nicht.
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Ich sehe jetzt selbst, dass es Käse ist und so nicht geht. Ich denke nochmal nach und melde mich dann.
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