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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:07 Mi 09.04.2014 | | Autor: | Kegorus |
| Aufgabe | zu zeigen:
[mm] e^A^t=(e^A)^t [/mm] |
Hallo Forum!
A ist hier reelle nxn Matrix.
Mir reicht die Gleichung für eine Jordanmatrix zu zeigen,
komme aber jetzt nicht mehr weiter.
Danke für Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 09.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zu zeigen:
>
> [mm]e^A^t=(e^A)^t[/mm]
Waehrend man die linke Seite recht einfach explizit definieren kann, braucht man fuer die zweite etwas mehr Aufwand, etwa einen Funktionenkalkuel (es sei denn $t$ ist eine ganze Zahl). Wie genau habt ihr denn die rechte Seite definiert?
Und falls $t$ eine ganze Zahl ist: verwende [mm] $\exp(A [/mm] + B) = [mm] \exp(A) \exp(B)$ [/mm] falls $A B = B A$.
Oder wolltest du schreiben, dass [mm] $e^{transponiert(A)}$ [/mm] gleich [mm] $transponiert(e^A)$ [/mm] ist? Dazu brauchst du nur die Definition von [mm] $e^B$ [/mm] fuer eine Matrix $B$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mi 09.04.2014 | | Autor: | Kegorus |
Hallo, danke für deine Antwort und sorry, dass ich nicht genauer formuliert habe.
Ich habe tatsächlich die transponierte gemeint.
Mit der Def der Expfkt. habe ich es auch versucht aber:
[mm] e^A^T=(Einheitsmatrix [/mm] + [mm] A^T+(A^T)^2/2+..)
[/mm]
[mm] (e^A)^T=(E+A+A^2/2+..)^T
[/mm]
Das Problem ist jetzt, dass in der unteren Gleichung eine unendliche Summe (reihe) steht, darf ich hier einfach das T "reinziehen"?
Bei einer endlichen Summe darf man das ja.
Und danach könnte ich einfach sagen dass ich potenzieren von A und transponieren vertauschen darf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Do 10.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo, danke für deine Antwort und sorry, dass ich nicht
> genauer formuliert habe.
> Ich habe tatsächlich die transponierte gemeint.
> Mit der Def der Expfkt. habe ich es auch versucht aber:
>
> [mm]e^A^T=(Einheitsmatrix[/mm] + [mm]A^T+(A^T)^2/2+..)[/mm]
> [mm](e^A)^T=(E+A+A^2/2+..)^T[/mm]
Du hast wieder nicht deutlich gemacht, was gemeint ist: schreibe doch [mm] $e^{A^{T}}$, [/mm] statt [mm] $e^{AT}$
[/mm]
>
> Das Problem ist jetzt, dass in der unteren Gleichung eine
> unendliche Summe (reihe) steht, darf ich hier einfach das T
> "reinziehen"?
> Bei einer endlichen Summe darf man das ja.
> Und danach könnte ich einfach sagen dass ich potenzieren
> von A und transponieren vertauschen darf.
Genau das ist das Problem. Die Reihe ist natuerlich als Grenzwert aufzufassen und damit kannst Du das Problem angehen: Wenn etwa $S:= [mm] e^{A}$ [/mm] ist, gilt dann [mm] $\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{(A^{T})^{k}}{k!}= S^{T}$? [/mm] Du koenntest z.B. versuchen die Frage zu untersuchen, indem Du einfach mit der Definition des Grenzwertes arbeitest.
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