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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Matrixexponentialfunktion exp (xA) für [mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 } [/mm] explizit. |
Hallo,
ich hab mir dazu einiges durchgelesen, aber mir fehlt es mal wieder am Verständnis. Ich denke man sollte hier zuerst die Diagonalmatrix von A berechnen, wenn man diese hat, dann soll man - laut Wikipedia - A = [mm] UDU^{−1} [/mm] mit einer Diagonalmatrix D berechnen, dann ist [mm] e^A=Ue^{D}U^{-1}
[/mm]
Stimmt erstmal die Idee oder gibts da schon nen Problem?
Gruß Leipziger
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> Berechnen Sie die Matrixexponentialfunktion exp (xA) für
> [mm]A=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 }[/mm]
> explizit.
> Hallo,
>
> ich hab mir dazu einiges durchgelesen, aber mir fehlt es
> mal wieder am Verständnis. Ich denke man sollte hier
> zuerst die Diagonalmatrix von A berechnen, wenn man diese
> hat, dann soll man - laut Wikipedia - A = [mm]UDU^{−1}[/mm] mit
> einer Diagonalmatrix D berechnen, dann ist
> [mm]e^A=Ue^{D}U^{-1}[/mm]
>
> Stimmt erstmal die Idee oder gibts da schon nen Problem?
Hallo,
die Richtung stimmt.
der Gedanke:
[mm] e^A=e^{UDU^{−1}}=Ue^DU^{−1}.
[/mm]
Der Witz: [mm] e^D [/mm] berechnet sich entschieden bequemer als [mm] e^A.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Gruß Leipziger
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Danke Angela für deine Antwort.
Also, ich hab jetzt die Jordanmatrix (Diagonalmatrix) berechnet, hoffe die stimmt soweit:
[mm] D=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Somit sollte ich dann ja für
[mm] e^D=\pmat{ e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & e^1 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 }
[/mm]
erhalten. Wenn das korrekt ist, wie bekomm ich jetzt U bzw. [mm] U^{-1}. [/mm] Ich weiß dass ich das in lin.Alg 2 gemacht habe, kann mich aber nicht mehr entsinnen :/
Gruß Leipziger
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Hallo
> Danke Angela für deine Antwort.
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> Also, ich hab jetzt die Jordanmatrix (Diagonalmatrix)
> berechnet, hoffe die stimmt soweit:
>
> [mm]D=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Somit sollte ich dann ja für
>
> [mm]e^D=\pmat{ e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & e^1 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 }[/mm]
>
> erhalten. Wenn das korrekt ist, wie bekomm ich jetzt U bzw.
> [mm]U^{-1}.[/mm] Ich weiß dass ich das in lin.Alg 2 gemacht habe,
> kann mich aber nicht mehr entsinnen :/
>
> Gruß Leipziger
Du musst dafür die Eigenvektoren berechnen, erinnerst du dich? Wenn du eine Matrix A diagonalisieren möchtest, so berechnest du D = [mm] UAU^{-1}, [/mm] wobei [mm] U^{-1} [/mm] als Spalten, die Eigenvektoren der Matrix A enthält.
Kommst du weiter?
Grüsse, Amaro
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Man, das kann sich dann ja um schöne Terme handeln, wenn mein [mm] U^{-1} [/mm] stimmt.
Haben erstmal die EW berechnet, mit: [mm] \lambda_1=2, \lambda_2=1, \lambda_3=-1
[/mm]
Die dazugehörigen EV: [mm] v_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{ -1 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
Somit erhalte ich [mm] U^{-1}= \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 5}
[/mm]
Richtig?
==> [mm] U=\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }
[/mm]
Ich glaube das hatte ich auch bei dem Aufgabenblatt bei einer anderen Aufgabe schon.
Gruß Leipziger
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Irgendwie kann das nicht hinhauen, ich bekomme dann nämlich
[mm] D=\pmat{ 6 & 2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -6 }
[/mm]
und dies ist nun mal keine Diagonalmatrix :(
Wo liegt der Fehler?
Gruß Leipziger
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 13.12.2009 | | Autor: | Leipziger |
Kann wirklich keiner beantworten, wo ich mich verrechnet habe, bzw. vllt ist der Ansatz ja auch falsch!?
Gruß
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> Irgendwie kann das nicht hinhauen, ich bekomme dann
> nämlich
>
> [mm]D=\pmat{ 6 & 2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -6 }[/mm]
>
> und dies ist nun mal keine Diagonalmatrix :(
> Wo liegt der Fehler?
>
> Gruß Leipziger
Hallo,
hast Du vielleicht U bzw. [mm] U^{-1} [/mm] an die jeweils falsche Seite von A heranmultipliziert?
Gruß v. Angela
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> Man, das kann sich dann ja um schöne Terme handeln, wenn
> mein [mm]U^{-1}[/mm] stimmt.
> Haben erstmal die EW berechnet, mit: [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=1, \lambda_3=-1[/mm]
>
> Die dazugehörigen EV: [mm]v_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}, v_3=\vektor{ -1 \\ 3 \\ 5}[/mm]
>
> Somit erhalte ich [mm]U^{-1}= \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 5}[/mm]
>
> Richtig?
>
> ==> [mm]U=\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }[/mm]
>
> Ich glaube das hatte ich auch bei dem Aufgabenblatt bei
> einer anderen Aufgabe schon.
>
> Gruß Leipziger
Hallo,
Deine Matrizen sind an sich richtig, aber ich sehe jetzt den Fehler:
mit Deinen Bezeichnungen gilt [mm] D=UAU^{-1},
[/mm]
also [mm] A=U^{-1}DU.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Tut mir echt leid, ich komme wieder genau auf dieselbe Matrix D,
bei mir ist [mm] U^{-1}*A [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 } [/mm] und wenn ich die mit U mulitpliziere, komm ich eben auf mein D, was immernoch keine Diagonalmatrix ist. Wo liegt der Fehler, rechne ich falsch?
Gruß
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Hallo,
lies meine Antwort von 19.32 Uhr.
Gruß v. Angela
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Mh, Angela, ich raub dir sicher den letzten Nerv, aber nun hab ich es gedreht und komme auf:
U*A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & -1 \\ 12 & -5 & 0 }
[/mm]
und damit auf D= [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 6 & -9 & 15 \\ 7 & -17 & 29 }
[/mm]
Also auch keine Diagonalmatrix :(
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Hallo
Es reicht nicht, wenn du nur U*A berechnest...
Nehme jetzt mal deine Matrizen A, U und [mm] U^{-1} [/mm] und berechne [mm] U*A*U^{-1}. [/mm] Dann sollte deine Diagonalmatrix herauskommen.
Grüsse, Amaro
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Das habe ich natürlich getan, dass war nur mein Zwischenschritt zum vergleich. Danach hab ich natürlich noch mit [mm] U^{-1} [/mm] multipluziert!
Und dann kommt eben das raus, was ich geschrieben hab!
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> Das habe ich natürlich getan, dass war nur mein
> Zwischenschritt zum vergleich. Danach hab ich natürlich
> noch mit [mm]U^{-1}[/mm] multipluziert!
>
> Und dann kommt eben das raus, was ich geschrieben hab!
Hallo,
bei deinem Ergebnis für U*A frage ich mich, wo die Drittel geblieben sind.
Mein Eintrag an der Position 1.Z 1.S. ist nicht ganz.
Gruß v. Angela
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Hallo,
wenn ich Deine Matrizen U, [mm] U^{-1}, [/mm] A und D in der richtigen Reihenfolge kombiniere, klappt's einwandfrei.
Entweder rechnest Du falsch, oder Du hast die verkehrten Matrizen am Wickel.
Schreib doch mal (mit ausgeschriebenen Matrizen) hin, was genau Du multiplizierst, damit man die Sache nachvollziehen kann.
Gruß v. Angela
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Also, habe
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }*\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & -1 \\ 12 & -5 & 0 }*\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 6 & -9 & 15 \\ 7 & -17 & 29 }
[/mm]
glaube ich bin bissl verplant grade. Wo liegt der Rechenfehler?
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> Also, habe
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }*\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & -1 \\ 12 & -5 & 0 }*\pmat{ 1/3 & -1 & 2/3 \\ 1/2 & 1 & -1/2 \\ -1/6 & 0 & 1/6 }=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 6 & -9 & 15 \\ 7 & -17 & 29 }[/mm]
>
> glaube ich bin bissl verplant grade. Wo liegt der
> Rechenfehler?
Hallo,
zunächst einmal ist Deine Gleichung eine Katastrophe:
hinter dem zweiten Gleichheitszeichen multiplizierst Du ans Ergebnis der ersten Multiplikation einfach eine Matrix dran. Das geht doch nicht!
Ich vermute auch noch sonstiges Chaos.
Anders kann ich es mir nicht erklären, daß Du schon wieder die Matrix, die Du [mm] U^{-1} [/mm] nennst, vorne an A heranmultiplizierst...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 So 13.12.2009 | | Autor: | Leipziger |
Danke, ich hab den Fehler gefunden, und hab es nur versucht hier kurz aufzuschreiben, weil ich gerade beschäftigt bin... tut mir leid!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 13.12.2009 | | Autor: | Leipziger |
Sieht zwar irgendwie ziemlich gewaltig aus, aber so sollte es passen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }\cdot{}\pmat{ e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{e} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{3} & -1 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{6} }=\pmat{ \bruch{1}{3}*e^2+\bruch{1}{2}*e+\bruch{1}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}*e^2-\bruch{1}{2}*e-\bruch{1}{6e} \\ \bruch{1}{2}*e-\bruch{1}{2e} & e & -\bruch{1}{2}*e+\bruch{1}{2e} \\ \bruch{1}{3}*e^2+\bruch{1}{2}*e-\bruch{5}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}*e^2-\bruch{1}{2}*e+\bruch{5}{6e} }
[/mm]
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Tut mir leid, vergessen es als Frage einzutragen.
Aber mir ist aufgefallen, in der Aufgabe steht exp(xA), kann ich dann am Ende einfach die Lösung
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }\cdot{}\pmat{ e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{e} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{3} & -1 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{6} }=\pmat{ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{6e} \\ \bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{2e} & e & -\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{2e} \\ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{5}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{5}{6e} }^x
[/mm]
rechnen (wer es nicht sieht "hoch x")? Oder wie mach ich das mit dem x nun?
Gruß
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> Tut mir leid, vergessen es als Frage einzutragen.
> Aber mir ist aufgefallen, in der Aufgabe steht exp(xA),
> kann ich dann am Ende einfach die Lösung
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 }\cdot{}\pmat{ e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{e} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{3} & -1 & \bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{2} & 1 & -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{6} & 0 & \bruch{1}{6} }=\pmat{ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{6e} \\ \bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{1}{2e} & e & -\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{1}{2e} \\ \bruch{1}{3}\cdot{}e^2+\bruch{1}{2}\cdot{}e-\bruch{5}{6e} & -e^2+e & \bruch{2}{3}\cdot{}e^2-\bruch{1}{2}\cdot{}e+\bruch{5}{6e} }^x[/mm]
>
> rechnen (wer es nicht sieht "hoch x")? Oder wie mach ich
> das mit dem x nun?
Hallo,
streng nach Vorschrift.
[mm] xA=xUDU^{-1}=U(xD)U^{-1}, [/mm] und jetzt potenzieren.
Gruß v. Angela
P.S.: "Matrix hoch x" (wie Du oben vorschlägst) mit [mm] x\in \IR [/mm] würde mich ziemlich ratlos machen - was stellst Du Dir darunter vor?
>
> Gruß
[mm] UDU^{-1}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Leipziger |
Danke hab es. Keine Ahnung wie ich mir das vorstelle, aber wohl zu einfach, und nicht mathematisch korrekt.
Gruß
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