Matrixgleichung lösen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Di 12.06.2007 | | Autor: | HoloDoc |
Hallo zusammen!
Habe Probleme mit folgender Gleichung:
[mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] * [mm] \Delta [/mm] x = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] x = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 0 }^{-1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
So steht es jedenfalls in der Lösung, nur warum nicht:
[mm] \Delta [/mm] x [mm] =\vektor{1 \\ 1} [/mm] * [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 0 }^{-1} [/mm]
ich weiß die dimensionen würden dann nicht stimmen,aber rein logisch darf man die Reihenfolge doch nicht vertauschen oder? und der Vektor war ja zuerst da.
aber ich hab noch ein problem:
[mm] \Delta [/mm] x = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 0 }^{-1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] x = [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 3 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Wo kommt derBruch her? Die Lösung muss richtig sein (kommt direkt vom prof)
Greez
HoloDoc
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Hallo HoloDoc,
Nennen wir der Einfachheit halber die linke Matrix A und die rechte Matrix/Spaltenvektor B
mal abgesehen, davon, dass das mit den Matrixformaten nicht passt nehmen wir an, es würde passen: seien also B und X auch [mm] $2\times [/mm] 2$- Matrizen
Dann ist die Gleichung AX=B
Wenn du nun auf beiden Seiten [mm] A^{-1} [/mm] von rechts dranmultiplizierst, hast du
[mm] AXA^{-1}=BA^{-1} [/mm]
Da hat sich auf der linken Seite nix vereinfacht - eher im Gegenteil.
Du willst doch X isolieren, darum muss es Ziel sein entweder [mm] AA^{-1} [/mm] oder [mm] A^{-1}A [/mm] direkt nebeneinander zu kriegen damit sie sich zur Identität wegheben
Also [mm] A^{-1} [/mm] von links dranmult. gibt
[mm] A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow \mathbb{E}_2X=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B
[/mm]
Zur anderen Frage:
Es gibt - sicher auch in deiner VL - einen Satz über die Inverse Matrix:
[mm] $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot{}A^{adj}$
[/mm]
Das ist bei ner [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix [mm] $A=\pmat{ a & b \\ c & d }$ [/mm] dann:
[mm] $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot{}\pmat{ d & -b \\ -c & a }=\frac{1}{ad-bc}\cdot{}\pmat{ d & -b \\ -c & a }$
[/mm]
Berechne mal die Determinante deiner Matrix A 
LG
schachuzipus
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