Matrixgleichung lösen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 20.01.2008 | | Autor: | Julian |
| Aufgabe | Gegeben seien:
A = [mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 4 } [/mm] ; B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 } [/mm] ; C = [mm] \pmat{ -1 & -3 \\ 2 & 3 } [/mm] ; D = [mm] \pmat{ 2 & 4 \\ -3 & -6 }
[/mm]
Bestimmen Sie aus folgender Gleichung die Matrix X, indem Sie zunächst - falls möglich! - nach X auflösen:
A*X*B - 2*X*B - 3D = 5C
Hinweis. Die Lösung muss nicht eindeutig sein! |
Hallo zusammen!
Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht weiter, ich erläutere euch erstmal die Schritte, die ich unternommen habe, um nach X aufzulösen:
1. AXB - 2XB - 3D = 5C
2. AXB - 2XB = 5C + 3D
3. (A-2E)XB = 5C + 3D
4. XB = (A - [mm] 2E)^{-1} [/mm] * (5C + 3D)
5. X = ((A - [mm] 2E)^{-1} [/mm] * (5C + 3D)) * [mm] B^{-1}
[/mm]
Ich hoffe das ist soweit erstmal korrekt.
Nun versuchte ich (A - [mm] 2E)^{-1} [/mm] auszurechnen, mit Hilfe des Gauß-Jordon-Verfahrens.
Also, (A - 2E) = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Wie soll ich aber das Gauß-Jordan-Verfahren anwenden, wenn die ersten beiden Zeilen gleich sind?
Das heißt also, dass die beiden Zeilen linear abhängig voneinander sind.
Wie muss ich nun aber mit der Aufgabe weiter rechnen?
Das Ergebnis sollte sein: X = [mm] \pmat{ -2\lambda - 2 & -2\mu - 3 \\ \lambda & \mu } [/mm] ; [mm] \lambda,\mu \in \IR
[/mm]
... zumindest ist das auf dem Lösungszettel angegeben.
Ich hoffen mir kann einer von euch helfen, vielen Dank schon einmal!
Lieben Gruß,
Julian
ps: wie kann man eigentlich eine um eine Einheitsmatrix erweiterte Matrix mit Hilfe des Formelsystems darstellen (also durch einen senkrechten Strich getrennt)?
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> Gegeben seien:
> A = [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 4 }[/mm] ; B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 1 }[/mm]
> ; C = [mm]\pmat{ -1 & -3 \\ 2 & 3 }[/mm] ; D = [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ -3 & -6 }[/mm]
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> Bestimmen Sie aus folgender Gleichung die Matrix X, indem
> Sie zunächst - falls möglich! - nach X auflösen:
> A*X*B - 2*X*B - 3D = 5C
> Hinweis. Die Lösung muss nicht eindeutig sein!
> Hallo zusammen!
>
> Irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht weiter, ich
> erläutere euch erstmal die Schritte, die ich unternommen
> habe, um nach X aufzulösen:
>
> 1. AXB - 2XB - 3D = 5C
> 2. AXB - 2XB = 5C + 3D
> 3. (A-2E)XB = 5C + 3D
> 4. XB = (A - [mm]2E)^{-1}[/mm] * (5C + 3D)
> 5. X = ((A - [mm]2E)^{-1}[/mm] * (5C + 3D)) * [mm]B^{-1}[/mm]
>
> Ich hoffe das ist soweit erstmal korrekt.
Hallo,
wenn Du wüßtest, daß A - [mm]2E invertierbar ist, wäre das korrekt.
> Nun versuchte ich (A - [mm]2E)^{-1}[/mm] auszurechnen, mit Hilfe des
> Gauß-Jordon-Verfahrens.
>
> Also, (A - 2E) = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
> Wie soll ich aber das Gauß-Jordan-Verfahren anwenden, wenn
> die ersten beiden Zeilen gleich sind?
>
> Das heißt also, dass die beiden Zeilen linear abhängig
> voneinander sind.
Ja. Folglich kannst Du die Matrix nicht invertieren.
> Wie muss ich nun aber mit der Aufgabe weiter rechnen?
Ich würde versuchen, die Matrix B auszuklammern in der zweiten Zeile.
Möglicherweise kann man die invertieren.
Gruß v. Angela
> ps: wie kann man eigentlich eine um eine Einheitsmatrix
> erweiterte Matrix mit Hilfe des Formelsystems darstellen
> (also durch einen senkrechten Strich getrennt)?
Ich mache das immer so, daß ich entweder jeweils vor den ersten Zeileneintrag der zweiten Matrix einen Betragsstrich setze, oder eine Matrixspalte für Betragsstriche zwischenschiebe. Aber es gibt da bestimmt noch geschicktere Möglichkeiten - für meine Zwecke reicht's.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 20.01.2008 | | Autor: | Julian |
>Ich würde versuchen, die Matrix B auszuklammern in der zweiten Zeile.
>Möglicherweise kann man die invertieren.
>Gruß v. Angela
Ja, B kann man invertieren, das ist sogar sehr einfach.
Danke für deine Antwort erstmal!
Aber ich glaube ich verstehe es trotzdem nicht,
selbst wenn ich B im zweiten Schritt ausklammerere habe ich links ja immer noch (AX-2X) stehen, und um da irgendwie weiterkommen zu können ist der Schritt des Ausklammerns von X ja unumgänglich.
Oder übersehe ich irgendwas?
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> >Ich würde versuchen, die Matrix B auszuklammern in der
> zweiten Zeile.
> >Möglicherweise kann man die invertieren.
> >Gruß v. Angela
>
> Ja, B kann man invertieren, das ist sogar sehr einfach.
>
> Danke für deine Antwort erstmal!
> Aber ich glaube ich verstehe es trotzdem nicht,
> selbst wenn ich B im zweiten Schritt ausklammerere habe
> ich links ja immer noch (AX-2X) stehen, und um da irgendwie
> weiterkommen zu können ist der Schritt des Ausklammerns von
> X ja unumgänglich.
>
> Oder übersehe ich irgendwas?
Nein.
Das X solltest Du durchaus ausklammern.
Du hast dann
[mm] (A-2E)X=(5C+3D)B^{-1}
[/mm]
Weiter kannst Du es nicht auflösen, denn (A-2E) ist ja nicht invertierbar. (Daß so etwas passieren kann, ist ja schon in der Aufgabnstellung angedeutet.)
Aus dem, was dort jetzt steht, erhältst Du eine LGS aus 4 Gleichungenmit 4 Unbekannten, dessen Lösungsmenge Du nun ja bestimmen kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 So 20.01.2008 | | Autor: | Julian |
Das war der entscheidende Hinweis!
Vielen Dank und lieben Gruß,
Julian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 20.01.2008 | | Autor: | Julian |
Auf auf die Gefahr hin, mich total zu blamieren.. ich habe grade einen kleinen großen Blackout.
Auf der linken Seite habe ich nun stehen: [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} }
[/mm]
Wie kann ich daraus jetzt eine LGS mit 4 Gleichungen erstellen?
Vielen Dank schon einmal und sorry für die blöde Frage..
Lieben Gruß,
Julian
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> Auf der linken Seite habe ich nun stehen: [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} }[/mm]
>
> Wie kann ich daraus jetzt eine LGS mit 4 Gleichungen
> erstellen?
Du wirst gleich umfallen, wenn ich es Dir sage:
Führ doch einfach mal diese Matrizenmultiplikation aus. Du erhältst eine Matrix mit 4 Einträgen. Rechts hast Du ja auch solch eine 2x2-Matrix.
Die rechte und linke sind gleich, wenn ihre Einträge komponentenweise gleich sind, was Dir 4 Gleichungen liefert.
Blamieren tut man sich hier übrigens nicht so leicht - und daß man den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht, hat wohl jeder schonmal erlebt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 So 20.01.2008 | | Autor: | Julian |
Au backe.. klar, logisch.
Vielen Dank und noch einen schönen Abend! :)
Lieben Gruß,
Julian
ps: Und nochmal ein riesengroßes Lob an dich, einfach Wahnsinn wievielen Leuten du hier täglich hilfst!!
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