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| Aufgabe | Sei [mm] $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ [/mm] und [mm] $\kappa_p(A)=\left\|A\right\|_p \left\|A^{-1}\right\|_p$, [/mm] wobei [mm] $\left\|\cdot\right\|_p$ [/mm] die $p$-Norm sei.
Zu zeigen:
(1) [mm] $\frac{1}{n}\kappa_2(A)\le \kappa_1(A)\le n\kappa_2(A)$
[/mm]
(2) [mm] $\frac{1}{n}\kappa_\infty(A)\le\kappa_2(A)\le n\kappa_\infty(A)$
[/mm]
(3) [mm] $\frac{1}{n^2}\kappa_1(A)\le\kappa_\infty(A)\le n^2\kappa_1(A)$ [/mm] |
Ich habe im Zuge dieser Aufgabe bewiesen, dass [mm] $\left\|A\right\|_2=\sqrt{\lambda_n}$ [/mm] und [mm] $\left\|A^{-1}\right\|_2=\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}$ [/mm] ist, wobei [mm] $0\le \lambda_1\le \cdots \le \lambda_n$ [/mm] die Eigenwerte von $A^*A$ ($A^*$ = Adjungierte von $A$) bzw. deren Wurzeln die Singulärwerte von $A$ sind.
Damit ist [mm] $\frac{1}{n}\kappa_2(A)\le n\kappa_2(A)$ [/mm] klar. Aber wie zeige ich den Rest am geschicktesten?
Liebe Grüße
Differential
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Ist die Frage zu einfach oder zu schwer? An die jenigen, die die Frage gelsen haben: Kann ich etwas ergänzen, damit ihr mir helfen könnt?
Liebe Grüße
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 04.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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