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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen-Aufgabe
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Matrizen-Aufgabe: Aufgabe 1. Richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Di 01.02.2005
Autor: DeusRa

- Lineare Algebra I -

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bekommen, und diese auch gelöst. Ich wollte nur wissen, ob ich es auch richtig gemacht habe, oder ob ich noch was ergänzen muss.

Aufgabe:

Berechnen Sie die Determinanten

D2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

: = $ \vmat{ \varepsilon & \alpha0 [mm] \\ [/mm] -1 & [mm] \varepsilon+ \alpha[/mm] 1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} $, D3Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= $ \vmat{ \varepsilon & 0 & \alpha0 [mm] \\ [/mm] -1 & [mm] \varepsilon [/mm] & [mm] \alpha[/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0 & -1 & [mm] \varepsilon+\alpha[/mm] 2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} $

und stellen Sie auf Grund der Resulatate eine Vermutung auf für
DnEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

:= $\vmat{ \varepsilon & 0 & ... & 0 & 0 & \alpha0 [mm] \\ [/mm] -1 & [mm] \varepsilon [/mm] & ... & 0 & 0 & [mm] \alpha[/mm] 1 [mm] \\ [/mm] . & . & . & . & . & . [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & ... & -1 & [mm] \varepsilon [/mm] & [mm] \alpha[/mm] n-2 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & ... & 0 & -1 & [mm] \varepsilon+\alpha[/mm] n-1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} $

Beweisen Sie die Vermutung.


Ich habe folgendes rausgekommen:

Für D2[mm] \Rightarrow [/mm] det(D2) kommt [mm] $\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 1[mm] *\varepsilon$+$\alpha[/mm] 0$ raus.

Für D3[mm] \Rightarrow [/mm] det(D3) kommt [mm] $\varepsilon[/mm] 3[mm] $+$\alpha[/mm] 2[mm] *\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 0$ raus.

Also ist es hier ersichtlich, dass für Dn[mm] \Rightarrow [/mm] det(Dn[mm] )=$\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n-1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$ rauskommt.

Meine Frage ist nur, muss ich das per Induktion beweisen, oder genügt es dass ich es so aufschreibe.

Also ich habe es folgendermaßen per Induktion gelöst:

Induktionsbehauptung: det(Dn[mm] )=$\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n-1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1. Und [mm] $\alpha[/mm] n-1$, sowie [mm] $\alpha[/mm] 0$ sind konstant.
Induktionsbeginn: det(Dn+1[mm] ):=$\varepsilon[/mm] n+1[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
Da [mm] $\alpha[/mm] 0$ konstant [mm] \Rightarrow $\varepsilon[/mm] n+1[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n$ [mm] \gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon$+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n$ [mm] \Rightarrow $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\alpha[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] n-1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
q.e.d.
---------------------------------------------------
Ist dat richtig ???

Danke schon mal.


        
Bezug
Matrizen-Aufgabe: nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Di 01.02.2005
Autor: DaMenge

Hi,



> Ich habe folgendes rausgekommen:
>  
> Für D2[mm] \Rightarrow[/mm] det(D2) kommt
> [mm]\varepsilon[sup]2[/sup][/mm]+[mm]\alpha[sub]1[/sub]*\varepsilon[/mm]+[mm]\alpha[sub]0[/sub][/mm]
> raus.

[ok]

>  
> Für D3[mm] \Rightarrow[/mm] det(D3) kommt
> [mm]\varepsilon[sup]3[/sup][/mm]+[mm]\alpha[sub]2[/sub]*\varepsilon[sup]2[/sup][/mm]+[mm]\alpha[sub]0[/sub][/mm]
> raus.

[notok]
denn nach Sarrus kommt: $ [mm] \varepsilon^3+a_2 *\varepsilon^2 +a_1 *\varepsilon +a_0 [/mm] $ raus.

Dementsprechend ist deine Vemutung auch falsch :-(

Deine Induktion verstehe ich auch nicht, wieso lässt du [mm] a_0 [/mm] in der Summe weg nur weil es konstant ist - du leitest doch nicht ab oder so..

ich denke hier soll man den Laplace'schen Entwicklungssatz anwenden - entwickle mal nach der letzten Spalte, dies scheint mir auf den ersten Blick vielversprechend.

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Matrizen-Aufgabe: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:58 Di 01.02.2005
Autor: DeusRa

ok..........sorry, hatte mich verrechnet :(

Danke.

Also lautet die Behauptung: det(Dn[mm] ):=$\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=1}^{n}\varepsilon[/mm] n-k[mm] *\alpha[/mm] n-k$.
Jetzt fragt sich nur, ob dann meine Induktion richtig ist.
Und da ist sie auch schon:
Induktionsanfang: [mm] n=1\Rightarrow $\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\varepsilon[/mm] 1-1[mm] *\alpha[/mm] 1-1[mm] $=$\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\alpha[/mm] 0$.
[mm] n=2\Rightarrow $\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\summe_{k=1}^{2}\varepsilon[/mm] 2-k[mm] *\alpha[/mm] 2-k[mm] $=$\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 1[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\alpha[/mm] 0[mm] *\varepsilon[/mm] 0$.
[mm] n=3\Rightarrow $\varepsilon[/mm] 3[mm] $+$\summe_{k=1}^{3}\varepsilon[/mm] 3-k[mm] *\alpha[/mm] 3-k[mm] $=$\varepsilon[/mm] 3[mm] $+$\alpha[/mm] 2[mm] *\varepsilon[/mm] 2[mm] $+$\alpha[/mm] 1[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\alpha[/mm] 0[mm] *\varepsilon[/mm] 0$.
Induktionsschritt: [mm] n\to [/mm] n+1
Induktionsbeweis: [mm] $\varepsilon[/mm] n+1[mm] $+$\summe_{k=1}^{n+1}\varepsilon[/mm] n+1-k[mm] *\alpha[/mm] n+1-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\summe_{k=1}^{n+1}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n+1-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] 1[mm] $+$\summe_{k=0}^{n}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=0}^{n}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] -1[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=0}^{n}\varepsilon[/mm] n-1[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=1}^{n}\varepsilon[/mm] n[mm] *\varepsilon[/mm] -k[mm] *\alpha[/mm] n-k[mm] $\gdw $\varepsilon[/mm] n[mm] $+$\summe_{k=1}^{n}\varepsilon[/mm] n-k[mm] *\alpha[/mm] n-k$.
q.e.d

Richtig so ?

Bezug
                        
Bezug
Matrizen-Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Di 01.02.2005
Autor: DaMenge

HI,

nein, das geht so nicht, du teilst wahrlos durch irgendwelche Epsilons !
Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht, was die ganzen Äquivalenzzeichen sollen - dazwischen stehen keine Aussagen, sondern nur einzelne Terme ohne Gleichheitszeichen.
Wäre nett ein paar mehr Worte dazu zu lesen.

Induktion kann hier auch gar nicht funktionieren, denn wie willst du denn die Gleichung für deine nxn Matrix in deiner (n+1)x(n+1) Matrix nutzen, wenn du
1) nicht Laplace verwendest (und somit die nxn Untermatrizen erhälst)
2) nur einmal $ [mm] \varepsilon +a_{n+1} [/mm] $ und sonst kein $ [mm] \varepsilon +a_n [/mm] $ darin stehen hast?

Kann ja sein, dass ich was übersehe (deshalb teilw beantwortet), aber ich denke du MUSST hier Laplace anwenden.

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                                
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Matrizen-Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Mi 02.02.2005
Autor: DeusRa

Aber die Behauptung det(Dn):=$ [mm] \varepsilon^{n} [/mm] $+$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\varepsilon^{n-k}\cdot{}\alpha_{n-k} [/mm] $. stimmt oder ?

Ich bräuchte vielleicht nen Tipp mit Laplace ... ich komme da irgendwie nicht auf nen Ansatz.

Bezug
                                        
Bezug
Matrizen-Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 02.02.2005
Autor: DaMenge

Hi,

ja, die Behauptung stimmt.

und es geht doch mit Induktion, aber beim Induktionsschritt musst du Laplace anwenden !
Also: im I.Schritt kannst du davon ausgehen, dass du für alle Zahlen bis n gezeigt hast:  det( [mm] D_n [/mm] ):= $ [mm] \varepsilon^{n} +\summe_{k=1}^{n}\varepsilon^{n-k}\cdot{}\alpha_{n-k} [/mm] $

so, jetzt nimmst du deine (n+1) Matrix und entwickelst die Determinante nach der ersten Zeile, was heißt das?
Ich hoffe, du kennst den Laplace'schen Entwicklungssatz.
[Welches Vorzeichen muss vor dem [mm] a_0 [/mm] stehen (abhängig davon ob n gerade oder ungerade) ? Wie sehen die Unterdeterminanten aus? Was sind deren Determinantenwerte (Ind.Vorraussetzung und rechnen)?]

reicht hoffentlich als Tip. Wenn nicht frag nach, wo du Probleme bekommst.
viele Grüße
DaMenge

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