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Hallo ihr Lieben!
Ich habe zwei allgemeine Fragen:
Wenn ich eine Matrix A gegeben habe ( beliebig ) und eine Matrix B feststellen ( finden ) soll, so dass AB = BA ist, welche Vorgehensweise ist dann richtig?
Ich wollte erst [mm] A^{- 1 } [/mm] berechnen, war mir dann jedoch unsicher. Oder muss ich hier mit der Determinanten arbeiten?
Dann eine allgemeine Frage zur Berechnung von Matrizen:
Beispielsweise wenn ich folgende Aufgabe gegeben habe:
4 [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] - 6 [mm] \pmat{ 5 & 2 \\ 7 & 3 }
[/mm]
Muss ich dann zuerst die gesamte Klammer mit 4 ( bzw 6 ) multiplizieren und dann ganz normal subtrahieren oder gibt es hier eine bestimmte Vorgehsnweise?
Bin gerade ziemlich durcheinander.
Danke :0)
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Hallo rotespinne,
zu deiner ersten Frage kann ich nur sagen, dass wir sowas mit einem Gleichungssystem gemacht haben. D.h. wenn du a gegeben hast, dann nimmst du dir ein B (Einträge sind erstmal Variablen) und löste das LGS für AB=BA
Um deine zweite Frage zu beantworten:
4 [mm] \pmat{1&2\\3&4} [/mm] - 6 [mm] \pmat{5 & 2\\7&3} [/mm] = [mm] \pmat{4&8\\12&16}-\pmat{30&12\\42&18} [/mm] = [mm] \pmat{-26&-4\\-30&-2}
[/mm]
Also, wie du schon richtig sagtest: erst alle Einträge multiplizieren, dann eintragweise subtrahieren.
Hoffe, ich konnte dir helfen!
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Hallo Danke :0)
Gut dann habe ich die Aufgabe ja richtig gelöst :0)
Wenn ich also A [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & - 2 } [/mm] gegeben habe. Dann suche ich mir ein B und stelle ein Gleichungssystem folgendermaßen auf:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & - 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} }
[/mm]
Oder wie mkeinst du das?
Und mit [mm] A^{-1} [/mm] oder der determinanten von A zu rechnen wäre falsch?
Danke :0)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mi 03.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also der richtige Ansatz ist bei GEGEBENEN A sicher:
[mm] $A*\pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} }=\pmat{ x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} }*A$ [/mm] beide Seiten auszumultiplizieren und dann erhält man vier Gleichungen (durch die Komponenten der beiden Seiten) mit vier unbekannten.
Inverse Matrix funzt natürlich nur dann, wenn A überhaupt invertierbar ist - dies muss aber nicht immer der Fall sein !
(Die einheitsmatrix kommutiert z.B auch mit nicht-invertierbaren Matrizen immer !)
Wie du die Rechnung mit der Determinante meinst kann ich jetzt leider nicht nachvollzeihen - aber du musst halt aufpassen, dass A ziemlich beliebig gewählt sein darf...
viele Grüße
DaMenge
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Hallo nochmal :0)
Es tat sich nun ein weiteres Problem auf. Ich habe die Gleichungen nun gelöst bzw. jedenfalls so weit es ging.
Für 3 x - Werte habe ich 0 rausbekommen. Aber leider habe ich nun keinen blassen Schimmer wie ich die fehlenden x Werte ermittle? Ich soll ja am Ende eine Matrix erhalten.
Ich habe heute einiges versucht, mich aber immer wieder im Kreis gedreht :(
Wäre sehr erfreut über einen kleinen Denkanstoß :=)
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Rotespinne
> Hallo nochmal :0)
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> Es tat sich nun ein weiteres Problem auf. Ich habe die
> Gleichungen nun gelöst bzw. jedenfalls so weit es ging.
>
> Für 3 x - Werte habe ich 0 rausbekommen. Aber leider habe
> ich nun keinen blassen Schimmer wie ich die fehlenden x
> Werte ermittle? Ich soll ja am Ende eine Matrix erhalten.
> Ich habe heute einiges versucht, mich aber immer wieder im
> Kreis gedreht :(
Wenn du für 3 x Werte 0 rausgekriegt hast, bleibt ja nur noch ein dritter, der dann wohl beliebig ist. Aber ich denk daran muss was falsch sein.
Zwei mögliche Lösungen für B kennst du ja schon : die Matrix I (Einsen auf der Hauptdiagonalen) und die matrix A selbst. damit hast du schon alle Kombinationen R*A+s*I also einen 2d Kern für das Gleichungssystem AX-XA=0 .
Also kann dein Gleichungssystem nur noch Rang 1 oder 2 haben. hat es Rang 2 bist du fertig, hat es Rang 1 musst du die 3te Lösung noch bestimmen. Ausserdem kannst du dein A schreiben als :
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \pmat{ 0 & 0\\ 0 & -3 } [/mm] Du musst also nur noch suchen nach einem X das mit [mm] \pmat{ 0 & 0\\ 0 & -3 } [/mm] bzw [mm] \pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 } [/mm] vertauschbar ist. und das hast du schnell.
Gruss leduart
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