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| Aufgabe | Die lineare Abbildung f : Q4 → Q3 mit f
ist mit f [mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ t} [/mm] = [mm] \vektor{x+y \\ x-y \\ 2x-4t }
[/mm]
durch eine Matrix A(f) ∈ Mat(3×4,Q) gegeben. Geben Sie A(f) an! Sie brauchen keine
Begründung abzugeben. Nur die Matrix zählt! |
Hallo Leute
Kann mir bei der Aufgabe jemand einen Tipp geben? Ich hab keine Ahnung wie man da ran geht :-(
Gruß, Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 31.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
zuerst brauchst du mal eine Basis bezüglich deiner Abbildung. Da du hier vom [mm] \IR^{4} [/mm] in den [mm] \IR^{3} [/mm] abbildest bieten sich die Standartbasen bezüglich der beiden Räume an. Also einmal die Standartbasis des [mm] \IR^{4} [/mm] und einmal die Standartbasis des [mm] \IR^{3}. [/mm] Jede lineare Abbildung besitzt immer eine zugehörige Abbildungsmatrix, die aber bezüglich zweier vorher gewählter Basen eindeutig festgelegt ist. Da hier bei dir keine Basen angegeben sind, nimmt man eben die Standartbasen.
Das war der erste Schritt.
Nun bildest du die Basisvektoren des [mm] \IR^{4} [/mm] durch deine Abbildungsvorschrift ab. Dadurch erhälst du einen neuen Vektor, nämlich das Bild des Basisvektors. Nun sucht man eine Linearkombination der Basis des [mm] \IR^{3}, [/mm] um den Bildvektor des Basisvektors darzustellen. Das heißt, man löst ein einfaches lineares Gleichungssystem. Der gefundene Vektor, ist der Spaltenvektor deiner gesuchten Matrix.
Ich gebe dir hier mal das Berechnungsbeispiel für die ersten beiden Basisvektoren an, also sozusagen für die erste Spalte deiner gesuchten Matrix. Den Rest kriegst du dann bestimmt alleine hin.
Der erste Basisvektor des [mm] \IR^{4} [/mm] lautet: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Der erste Basisvektor des [mm] \IR^{3} [/mm] lautet: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Nun den ersten Basisvektor durch die Abbildungsvorschrift abbilden:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})=\vektor{1+0 \\ 1-0 \\ 2*1-4*0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Nun eine Linearkombination der Basisvektoren des [mm] \IR^{3} [/mm] suchen, die den Bildvektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] erzeugt.
Dazu ein LGS aufstellen:
[mm] a*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+c*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Mit Hilfe der zugehörigen erweiterten Matrix sieht man sofort (oder auch ohne Matrix), das die Lösung eindeutig ist:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
a=1
b=1
c=2
Dies sind die Koeffizienten der ersten Spalte deiner gesuchten Matrix.
Genauso machst du es jetzt mit den anderen drei Basisvektoren des [mm] \IR^{4}. [/mm] Dann hast du am Ende deine Darstellungsmatrix.
Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich rübergebracht.
Gruß,
clwoe
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Hi.
Erstmal viiiiieeeeelen Dank für den lösungsansatz. Ich hab da abe noch eine frage. Heisst das, das ich nun die Basisvektoren: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] - damit hätt ich am ende der rechnung die koeffizienten der 2ten spalte , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] - koeff. der 3ten spalte, [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] - koeff der 4ten spalte? wenn das so ist hab ich alles verstanden. 
und nochwas: bis zum ende deiner rechnung sieht die matrix so aus?:
[mm] \pmat{ 1 & - & - & - \\ 1 & - & - & - \\ 2 & - & - & - }
[/mm]
Dank die nochmal.
Beste Grüße, Matze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 So 31.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
Genau! Alles richtig wie du gesagt hast.
Du musst den Vorgang den ich gemacht habe genauso nun mit den drei anderen Vektoren machen.
Auch die Matrix am Ende deines Artikels passt.
Gruß,
clwoe
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